Главная Обратная связь

Дисциплины:






Сравнение бесконечно малых величин.



Пусть при х→х0 функции α(х) и β(х) являются б.м., и пусть β(х)≠0 тогда

1. если , то α(х) называется б.м. более высокого порядка, чем β(х) (α(х) имеет более высокий порядок малости, чем β(х) при х→х0)

Пишут a(х)=о(b(х)) при х→х0 (о малое)

Пример. Покажем, что при х→0 функция хk (k>1) – б.м. более высокого порядка, чем х. Действительно, =0, т.к. по условию k>1.

2. если =А≠0, то α(х) и β(х) называются б.м. одного порядка (имеют одинаковую «скорость» стремления к 0).

Пример. Покажем, что при х→0 функции sin kx и mx (k≠0,m≠0)- б.м. одного порядка. Действительно,

3. если =1, то α(х) и β(х) называются эквивалентнымиб.м.: α(х)~β(х).

Пример. Покажем, что при х→0 функции sin x и tg x (k≠0,m≠0)- б.м. одного порядка. Действительно,

4. если =¥, то функцию α(х) называют б.м. более низкого порядкапо сравнению с β(х) при х→х0.

5. если отношение не имеет придела при х→х0, то говорят, что б.м. функции α(х) и β(х) не сравнимы при х→х0.

Пример. Функции a(х)= и b(х)=х – б.м. при х→0. Имеем , но не имеет предела при х→0. Значит, α(х) и β(х) не сравнимы при х→0.

6. если =А≠0, то α(х) называется б.м. n –го порядка относительно β(х) при х→х0. (n>0, не обязательно целое).

Из предыдущих пунктов следует, что

1) Если n=1, то функция α(х) б.м. одного порядка с β(х) при х→х0.

2) Если n>1, то функция α(х) б.м. более высокого порядка по сравнению с β(х) при х→х0.

3) Если n<1, то функция α(х) б.м. более низкого порядка по сравнению с β(х) при х→х0.

Теорема 1.Произведение двух б.м. величин является б.м. величиной более высокого порядка по сравнению с каждым из сомножителей.

Доказательство. Пусть при х→х0 функции α(х) и β(х) являются б.м., γ(х)=α(х)×β(х). Докажем, что γ(х)=о(α(х)) и γ(х)=о(β(х)) при х→х0. Имеем

, а это означает, что γ(х)=о(α(х)) при х→х0.

Аналогично, , а это означает, что γ(х)=о(β(х)) при х→х0. ч.т.д.

Теорема 2. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией по сравнению с каждой из них.

Доказательство. Пусть при х→х0 функции α(х) и β(х) являются б.м., и α(х)~β(х). Положим γ(х)=α(х)-×β(х). Докажем, что γ(х)=о(α(х)) и γ(х)=о(β(х)) при х→х0. Имеем



, По условию, т.к. α(х)~β(х), то =1. Следовательно, =1-1=0. Значит, γ(х)=о(α(х)) при х→х0.

Аналогично, , По условию, т.к. α(х)~β(х), то =1. Следовательно, =1-1=0. Значит, γ(х)=о(β(х)) при х→х0. ч.т.д.





sdamzavas.net - 2018 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...