Главная Обратная связь

Дисциплины:






Теорема 3 (о замене бесконечно малых при отыскании предела отношения).



Пусть функции α(х) и β(х) являются б.м. при х→х0, и α(х)~ (х), β(х) ~ (х) при х→х0. Тогда если существует конечный или бесконечный предел

,

То к этому же пределу стремится при х→х0 и отношение .

Доказательство. 1) Пусть =с, где с – конечное число. Тогда очевидно следующее равенство: =

По условию, каждый из сомножителей в правой части имеет конечный предел при х→х0. Тогда = =1×с×1=с. Т.е. = .

2) Пусть =¥. Но тогда =0 (считаем, что (х)≠0 ).

По доказанному в пункте 1), =0Þ =¥.

Значит, и в этом случае = ч.т.д.

Замечание 1. Применение теоремы 3 требует знания б.м. функций (х) и (х) эквивалентных при х→х0 бесконечно малым функциям α(х) и β(х).

1) sin x~x при х→0 (т.к. =0),

2) tg x~x, при х→0 3) 1-cos x~ , при х→0

4) ln(1+x) ~x, при х→0 5) ex-1~x, при х→0

6)ax-1~xlna, при х→0 (a>0, a≠0)

7) (1+x)a-1~ax, при х→0

8) arcsin x~x, при х→0 9) arctg x~x, при х→0

Покажем, что ln(1+x) ~x, т.е. =1

= = =ln (т.к. функция ln x непрерывна)=ln e=1. Ч.т.д.

Замечание 2. Теорему 3 можно также применять в следующих случаях:

Если выражение под знаком предела содержит б/м величину в виде множителя, в виде отношения или в виде показателя степени, то ее можно заменить на эквивалентную ей б/м.

 

α(х)~β(х)

Раскрытие неопределенностей.

Если при подстановке предельного значения х в выражение под знаком предела получается величина вида [ ], [ ], [∞-∞], [1], то говорят, что имеет место соответствующая неопределенность.

Способы устранения неопределенностей.

Алгебраические методы.

а) Разложение на множители. = =10. ([ ])

б) Устранение иррациональности. ([ ])

в) Выделение главного члена. ([ ])

Применение замечательных пределов.

а) при тригонометрических выражениях

б) при неопределенности [1].





sdamzavas.net - 2018 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...