Главная Обратная связь

Дисциплины:






Предел последовательности



 

Центральное место в математическом анализе занимает понятие предела. Последовательности позволяют познакомиться с пределом достаточно просто с сохранением всей содержательности этого понятия.

Определение 3.2.Последовательность , называется сходящейся к числу (пишут или ), если для каждого положительного числа можно указать номер , начиная с которого все члены последовательности удовлетворяют неравенству: . Число в этом случае называется пределом последовательности.

В формальной записи это определение выглядит следующим образом:

( ), ( ), ( ): . (1)

Для лучшего восприятия этого определения проведем его небольшое обсуждение. Имея в виду графическое представление последовательности , , определение предела можно переформулировать следующим образом: точка является пределом последовательности , , если какую бы окрестность с центром в точке мы не выбрали, для нее найдется такой номер, начиная с которого все члены последовательности лежат в выбранной окрестности.

Это условие можно сформулировать иначе, сохраняя эквивалентность:

, если вне любой окрестности точки оказывается лишь конечное множество членов последовательности.

Задача 3.2. Верно ли, что если в любой окрестности точки содержится бесконечное множество членов этой последовательности, то число является пределом последовательности?

Задача 3.3. Верно ли, что если в любой окрестности точки содержится бесконечное множество членов этой последовательности, то число не является пределом последовательности?

 

Отметим, что при некоторых внешних изменениях содержание формального определения предела последовательности сохранится. В качестве примера докажем, что условие (1) эквивалентно следующему:

 

( ), ( ), ( ): . (2)

 

Действительно, если выполнено условие (1), то справедливость условия (2) следует из того, что .

Для доказательства обратного утверждения воспользуемся следующим рассуждением.

Выберем произвольно положительное число . Обозначим через . Если предположить, что условие (2) выполнено, то для числа найдется номер , такой что для всех выполняется неравенство . Таким образом, если для выбранного в качестве взять , то для всех неравенство выполняется.

Выясните, какие из приведенных ниже условий эквивалентны тому, что .

Задача 3.4 . ( ), ( ), ( ): .

Задача 3. 5. ( ), ( ), ( ): .

Задача 3.6.( ), ( ), ( ): .

 

В завершение обсуждения определения 3.2 выясним, как построить его отрицание, то есть сформулируем в положительном виде условие: не сходится к числу .

В определении 3.2 говорится, что любое положительное число обладает свойством: ( ), ( ): . В нашем случае это не так, то есть существует положительное число , для которого это свойство не выполняется. Это в свою очередь означает, что какой бы номер мы не взяли, для него найдется , при котором .



 

В итоге получаем:

не сходится к числу , , , .

Определение 3.3. Последовательность , , называется сходящейся, если существует такое действительное число , что для каждого положительного числа можно указать такой номер , начиная с которого, все члены последовательности удовлетворяют неравенству: , или в формальной записи

( ): ( ), ( ), ( ): .

Рассмотрим примеры.

Пример 3.7. Последовательность , , сходится к нулю. Действительно, какое бы ни было положительное число , по свойству Архимеда множества действительных чисел существует такое натуральное число , что . Поэтому для всех выполняется неравенство , а это означает, что .

Пример 3.8. Пусть последовательность , , сходится к числу . Тогда последовательность средних арифметических ее членов , , тоже сходится к числу .

Согласно определению предела для каждого положительного числа можно указать такой номер , начиная с которого, все члены последовательности удовлетворяют неравенству: .

Заметим, что для всех справедливо равенство:

=

= .

 

Предел равен нулю, поскольку числитель дроби есть фиксированное число, а . Следовательно, существует такой номер , начиная с которого выполняется неравенство: . Пусть . Тогда для всех получим

< .

Это означает, что .

Задача 3.7. Доказать, что отбрасывание конечного числа членов последовательности не влияет на ее сходимость, в случае сходящейся последовательности не влияет и на величину предела.





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...