Главная Обратная связь

Дисциплины:






Ограниченность сходящейся последовательности. Теорема о единственности предела



 

Теорема 3.1. Если последовательность , сходится, то она ограничена.

Доказательство. Пусть число является пределом последовательности { }. Для можно указать номер , начиная с которого все члены последовательности удовлетворяют неравенству . Так как множество членов последовательности, не удовлетворяющих данному неравенству, конечно, то выберем

.

Легко убедиться в том, что все члены последовательности удовлетворяют неравенству . Теорема доказана.

Из теоремы 3.1 непосредственно вытекает, что если последовательность , , не является ограниченной, то она и не является сходящейся. Следует, однако, заметить, что теорема не может быть обращена, то есть не любая ограниченная последовательность имеет предел. Рассмотрим примеры.

Пример 3.9. , . Последовательность сходится к нулю и принимает значения из отрезка .

Пример 3.10. , . Последовательность сходится к нулю и принимает значения из полуинтервала .

Пример 3.11. , . Последовательность не является ограниченной, так как для произвольного положительного числа и для любого натурального , большего , выполняется . Следовательно, , , не является сходящейся.

Пример 3.12. , . Для произвольного положительного числа и для любого натурального четного числа , удовлетворяющего неравенству справедливо , то есть не ограничена.

Пример 3.13. , . Последовательность ограничена, но не имеет предела. Действительно, предположим, что предел существует и равен . Тогда для каждого положительного числа можно указать такой номер , начиная с которого, все члены последовательности удовлетворяют неравенству: . В частности, для = найдется номер такой, что для любого справедливо неравенство . Поскольку и , то для членов последовательности и выполняются неравенства , . Так как =1, = , то из неравенств и следует, что

.

Получили противоречие, которое означает, что последовательность не имеет предела.

 

В заключение раздела докажем теорему о единственности предела последовательности.

Теорема 3.2. Последовательность , , не может одновременно стремиться к двум различным пределам, то есть если предел последовательности существует, то он единственный.

Доказательство. Предположим, что и . Докажем равенство . Выберем . По определению предела:

( ), ( ): , (3)

( ), ( ): . (4)

Для члена последовательности с номером одновременно выполнены неравенства из условий (3) и (4). Поэтому

.

Таким образом, для произвольно выбранного положительного числа . Это означает, что . Теорема доказана.





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...