Главная Обратная связь

Дисциплины:






Неравенства и предельный переход. Лемма о двух милиционерах



 

Приведем ряд утверждений, обеспечивающих предельный переход в неравенствах. Начнем с простого замечания

Пусть последовательность , , сходится к числу . Очевидно, что для любого числа (или для любого числа ) можно указать положительное число так, чтобы + ( - ). В первом случае следует взять , во втором - . По определению предела найдется такой номер , начиная с которого все члены последовательности удовлетворяют неравенству: ( ).

Задача 3.8. Докажите, что если последовательность , , сходится к числу , отличному от нуля, то найдется такой номер , начиная с которого, выполняется неравенство: .

Теорема 3.3.Пусть для всех членов сходящейся к числу последовательности , , начиная с некоторого номера выполняется неравенство , тогда .

Доказательство.Для доказательства предположим противное: . Из замечания, приведенного в начале этого раздела, следует, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство , которое противоречит условию теоремы. Теорема доказана.

Задача 3.9. Известно, что каждый член некоторой сходящейся последовательности положителен. Может ли предел такой последовательности быть равен нулю?

Теорема 3.4.Если для двух последовательностей и , , при любом выполняется неравенство , и каждая из них имеет предел: = , = , то .

Доказательство.Предположим противное. Пусть . Возьмем число между и : . Тогда найдется такой номер , начиная с которого будет , и, с другой стороны, найдется , что для окажется . Если взять , то для этих номеров будут выполняться оба неравенства и , а, следовательно, , что противоречит условию теоремы. Теорема доказана.

Следует заметить, что если для последовательностей выполняется строгое неравенство < , то для пределов, вообще говоря, по-прежнему . Например, для последовательностей = и = выполняется неравенство , но .

 

Следующая теорема используется достаточно часто при установлении существования и величины предела.

Теорема 3.5 (лемма о двух милиционерах).Пусть для последовательностей , и , выполняются неравенства , причем = = . Тогда последовательность имеет тот же предел.

Доказательство. Пусть выбрано произвольное . Тогда ( ), ( ): . С другой стороны, ( ), ( ): .

Выберем , тогда для всех будут выполнены оба двойных неравенства, следовательно, , то есть , или .

Пример 3.14. Покажем, что .

Из следующей цепочки

вытекает, что

. Ясно, что (Докажите!). Теперь существование и равенство предела последовательности единице следует из неравенств

и из леммы о двух милиционерах.

 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...