Главная Обратная связь

Дисциплины:






Монотонные последовательности



 

В теории сходимости последовательностей одно из центральных мест занимает вопрос о существовании предела у той или иной последовательности. Здесь мы рассмотрим важный и достаточно простой класс последовательностей, для которых эта проблема решается относительно просто.

Определение 3.3. Последовательность , , называется монотонно возрастающей, если , то есть если для каждого . Последовательность , , называется строго возрастающей, если для каждого справедливо неравенство .

Аналогично можно определить монотонно убывающую и строго убывающуюпоследовательности.

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями.

Задача 3.10. Доказать, что сумма двух возрастающих последовательностей возрастает.

Задача 3.11. Доказать, что любая неотрицательная последовательность может быть представлена в виде суммы двух монотонных последовательностей.

Задача 3.12. Доказать, что любая монотонно возрастающая последовательность является ограниченной снизу.

Для выяснения вопроса о сходимости монотонных последовательностей сформулируем и докажем теорему фундаментальной важности.

Теорема 3.6 (Вейерштрасс). Пусть последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, тогда она имеет конечный предел.

Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится.

Доказательство. Будем доказывать теорему для случая возрастающей последовательности. Пусть , , ограничена сверху. Тогда для множества её значений существует точная верхняя грань: . Докажем, что .

По определению точной верхней грани, во-первых, при всех , а во-вторых, для любого числа найдется такой номер , что выполнено неравенство . Так как последовательность монотонно возрастает, то для всех , а, значит, и , то есть . Отсюда следует, что . Теорема доказана.

Пример 3.15. Пусть = , . Покажем, что эта последовательность сходится. Применяя бином Ньютона, получаем:

 

= = = =

= .

Заметим, что при переходе от к каждое слагаемое увеличивается, так как

< ,

где , и, кроме того, добавляется дополнительное положительное слагаемое. Значит, < , то есть последовательность возрастает. Далее, каждая из скобок меньше единицы и для всех натуральных справедливо

.

 

Поэтому при любом

< < ,

то есть наша последовательность ограничена сверху.

Согласно теореме Вейерштрасса последовательность имеет предел. Этот предел обозначается:

.

 

Из приведенных оценок вытекает, что . Можно доказать, что e – иррациональное число, начало его десятичного разложения имеет вид .



 

В качестве еще одного приложения теоремы докажем утверждение, принадлежащее Кантору.

Лемма о вложенных отрезках.Пусть дана последовательность числовых отрезков

, , …, , … , ,

для которых , при любом , то есть каждый последующий отрезок содержится в предыдущем . Пусть - последовательность длин этих отрезков стремится к нулю.

Тогда концы и этих отрезков стремятся к общему пределу:

= ,

который представляет собой единственную точку, принадлежащую всем отрезкам.

Доказательство. Рассмотрим последовательность , , левых концов этих отрезков. Это монотонно возрастающая последовательность, являющаяся к тому же ограниченной сверху: для всех значений . Обозначим предел последовательности через .

- монотонно убывающая и ограниченная снизу последовательность. Обозначим: . Так как , то . Для каждого , и, следовательно, . Используя условие , получаем . Ясно, что это - единственная точка, принадлежащая всем отрезкам. Лемма доказана.





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...