Главная Обратная связь

Дисциплины:






Бесконечно малые последовательности



 

Последовательности, стремящиеся к нулю, обычно выделяют в отдельный класс последовательностей.

Определение 3.4. Последовательность , , называется бесконечно малой, если ( ).

Это определение может быть сформулировано следующим образом:

, , - бесконечно малая последовательность ( ), ( ), ( ): .

Теорема 3.7. Для того чтобы последовательность , , сходилась к необходимо и достаточно, чтобы разность была бесконечно малой.

Доказательство этого утверждения очевидно.

 

Отметим несколько свойств бесконечно малых последовательностей.

Теорема 3.8. Алгебраическая сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство.Пусть , , - бесконечно малые последовательности. Покажем, что - бесконечно малая последовательность. Выберем произвольно число . По определению, найдется такой номер , что для всех будут выполнено неравенство:

.

Аналогично, найдется такой номер , начиная с которого выполняется неравенство:

.

Обозначим: . Тогда при всех

,

что означает: . Теорема доказана.

Следствие. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью. (Докажите индукцией).

Теорема 3.9.Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство. Пусть , , - бесконечно малая последовательность, а , , - ограниченная последовательность. Покажем, что - бесконечно малая последовательность.

По определению ограниченной последовательности найдется такое число , что для всех выполняется неравенство . Выберем произвольно число . По определению бесконечно малой последовательности найдется такой номер , что для всех выполняется неравенство: . Поэтому для всех имеем ,то есть - бесконечно малая последовательность. Теорема доказана.

Следствие.Произведение бесконечно малой последовательности на сходящуюся последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Следствие.Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...