Главная Обратная связь

Дисциплины:






Сходимость и арифметические операции



 

Следующие теоремы позволяют существенно облегчить вычисление пределов.

Теорема 3.10.Пусть последовательности и , , сходятся к числам и соответственно, тогда их сумма (разность) - сходящаяся последовательность, причем ( ).

Доказательство. Докажем теорему для суммы двух последовательностей. По теореме 3.7 = , = - бесконечно малые последовательности. Тогда

( )

является бесконечно малой (теорема 3.8), из этого следует, что . Теорема доказана.

Теорема 3.11.Пусть последовательности и , , сходятся к числам и соответственно, тогда их произведение - сходящаяся последовательность, причем .

Доказательство. Исходя из равенств = , = , где - бесконечно малые последовательности, получим: . Выражение справа согласно теоремам о бесконечно малых определяет бесконечно малую последовательность. Теорема доказана.

 

Теорема 3.12.Если последовательности и , где , , сходятся к числам и соответственно, причем отлично от нуля, то их отношение также сходящаяся последовательность и

.

Доказательство.Согласно результату задачи 3.8 раздела 3.4 существует такой номер , что для всех номеров выполняется неравенство , поэтому для тех же номеров выполняется неравенство

< .

Далее,

= .

 

В силу свойств бесконечно малых последовательностей числитель дроби есть бесконечно малая. Из условия

= <

при следует, что - ограниченная последовательность. Итак, разность есть бесконечно малая последовательность и . Теорема доказана.

Пример 3.16. Для любого , . Пусть сначала . Обозначим через . Заметим, что . Выразим по формуле бинома Ньютона: . Поскольку все слагаемые справа положительны, то . Следовательно, . При получим . Если , то положим . По доказанному . Отсюда .

Задача 3.13.Показать как результат примера 3.16 следует из результата примера 3.14.

 

Теоремы об арифметических операциях над пределами и теорема о монотонной и ограниченной последовательности позволяют обосновать алгоритм для нахождения приближенного извлечения квадратного корня.

Пример 3.17. Доказать, что если , то последовательность, определенная соотношением

, ,

имеет предел, и он равен .

Так как и , то для всех . Из неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух чисел следует, что

.

Поэтому при каждом натуральном справедливо неравенство или . Таким образом,

и последовательность является убывающей. Последовательность ограничена снизу, например, числом . По теореме Вейерштрасса она имеет предел, обозначим его через . Из неравенства следует, что .



Перейдем к пределу в исходном соотношении

.

Учитывая, что (объясните, почему?), получим

,

то есть . Поскольку , то = .

Алгоритм вычисления в этом случае дает:

.


Критерий Коши

 

Здесь предлагается рассмотреть общий признак существования конечного предела для последовательности , .

Определение 3.5. Последовательность , , называется фундаментальной, если для произвольного числа найдется такой номер , что для всех выполняется неравенство .

Определение фундаментальной последовательности часто удобно использовать в следующем виде.

Определение 3.6. Последовательность является фундаментальной, если для произвольного числа найдется такой номер , что для всех и любого натурального числа выполняется неравенство .

Теорема 3.13 (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность , , сходится, то есть существует . Выберем . Тогда найдется такой номер , что для всех выполняется неравенство: .

Пусть и , тогда

= ,

что означает фундаментальность последовательности.

Достаточность.Пусть последовательность является фундаментальной. Докажем, что она сходится. Трудность заключается в обнаружении такого числа а, которое является её пределом.

Разобьём рассуждение на несколько шагов.

а) Докажем, что из фундаментальности последовательности вытекает её ограниченность. Рассмотрим ε=1, тогда найдётся такой номер n1, что при всех

n, m ≥n1 выполняется неравенство . При всех n≥n1 справедливо:

.

Пусть , а , тогда для каждого натурального выполнены неравенства , то есть ограничена.

б) Выберем натуральное n. Рассмотрим множество - множество значений членов последовательности, номера которых не меньше выбранного n. По доказанному в а) множество X1 ограничено. А из очевидных вложений следует, что каждое из этих множеств ограничено.

в) Рассмотрим две новые последовательности. С этой целью для каждого множества обозначим: , . Из приведённых в б) вложений вытекает, что последовательность возрастает ( ), а последовательность убывает ( ). Поэтому , то есть последовательности монотонны и ограничены и, следовательно, сходятся. Отметим также, что при всех натуральных n очевидны неравенства .

г) Докажем, что разность этих двух последовательностей стремится к нулю: . Воспользуемся условием фундаментальности. Для произвольного числа найдется такой номер , что для всех k ≥ nε выполняются неравенства . Эти неравенства позволяют сделать вывод о том, что

при n≥nε . Следовательно, .

д) По доказанному в части в) последовательность сходится, пусть . Так как и , то из неравенств и из леммы о двух милиционерах следует, что . Достаточность доказана. Теорема доказана.

 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...