Главная Обратная связь

Дисциплины:






Подпоследовательности. Частичные пределы



 

Определение 3.7.Пусть , , - некоторая числовая последовательность и пусть , - строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность вида , , называется подпоследовательностью последовательности .

Если у последовательности нет предела, то это не исключает возможности существования предела для какой-либо подпоследовательности.

Определение 3.8.Частичным пределом последовательности называется предел какой-нибудь сходящейся подпоследовательности.

Пример 3.18 . Пусть . Эта последовательность расходится (см. раздел 3.2), но ее подпоследовательности и сходятся соответственно к 1 и -1. Таким образом, эти числа являются частичными пределами последовательности .

 

Теорема 3.14. Пусть последовательность , , сходится к числу a. Тогда любая её подпоследовательность также сходится к a.

Доказательство. Пусть , , - подпоследовательность последовательности , . Так как строго возрастающая последовательность натуральных чисел, то при всех (это легко доказать по индукции). Выберем . По определению сходимости к a для всех будет выполнено неравенство . Теорема доказана.

Задача 3.14Докажите, что для сходимости последовательности необходимо и достаточно, чтобы сходилась каждая ее подпоследовательность.

Задача 3.15.Докажите, что из условий a и a вытекает, что a.

Задача 3.16.Приведите пример последовательности, которая имеет ровно десять частичных пределов.

Задача 3.17.Приведите пример последовательности, для которой каждое действительное число является частичным пределом.

Рассмотрим вопрос о существовании частичных пределов в случае ограниченной последовательности.

Теорема 3.15 (Больцано-Вейерштрасс).Любая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство.В силу ограниченности последовательности можно указать такие числа , что для любого выполняются неравенства . Разделим отрезок пополам. Тогда хотя бы в одной половине будет содержаться бесконечное множество членов последовательности. Это следует из того, что последовательность состоит из бесконечного числа членов, а половин всего две. Выберем эту половину и обозначим через , если обе таковы - то любую из них.

Далее, отрезок снова разделим пополам и выберем половину, содержащую бесконечное множество членов последовательности. Обозначим ее через . Продолжая этот процесс, на -ом шаге получим отрезок , в котором содержится бесконечно много членов данной последовательности. Каждый из построенных отрезков содержится в предыдущем. Длина отрезка равна , то есть стремится к нулю с ростом . Применяя лемму Кантора о вложенных отрезках, получим, что последовательности и стремятся к общему пределу, обозначим его через а.



Построим теперь сходящуюся к а подпоследовательность. В качестве выберем любой из членов последовательности , содержащихся в . В качестве выберем такой член последовательности , который содержится в и номер которого больше (здесь используется то, что отрезок содержит бесконечно много членов последовательности). Рассуждая аналогично, на -ом шаге в качестве выберем такой член последовательности , который содержится в и номер которого больше . Напомним, что каждый из построенных отрезков содержит бесконечно много членов последовательности, что и обуславливает возможность такого выбора. Так как , а , то по лемме о двух милиционерах . Теорема доказана.

 

Множество всех частичных пределов последовательности обозначим через . Доказанную теорему Больцано-Вейерштрасса можно переформулировать так:

у всякой ограниченной последовательности множество частичных пределов не пусто.

Дополнительно отметим, что из ограниченности последовательности по теореме о предельном переходе в неравенствах следует и ограниченность множества . Значит, множество имеет точные верхнюю и нижнюю грани.

Определение 3.9. Пусть , , - ограниченная последовательность, и пусть - множество всех ее частичных пределов. Значения , называются соответственно нижним и верхним пределами последовательности .

Из этого определения непосредственно не вытекает, что числа , принадлежат множеству , но, тем не менее, справедлива

Теорема 3.16. Верхний и нижний пределы ограниченной последовательности являются её частичными пределами.

Доказательство. Покажем, что существует такая подпоследовательность , что . Так как < , то по определению точной верхней грани найдется из , для которого . Далее, найдется , для которого , и вообще, для любого найдется , удовлетворяющее неравенствам :

.

Так как каждое - частичный предел, то любая окрестность содержит бесконечно много членов последовательности . Поэтому существует номер , для которого ; существует номер , для которого

и .

Продолжая рассуждения, для каждого рассмотрим , удовлетворяющий условиям

и .

Построенная таким образом подпоследовательность удовлетворяет неравенствам

и по лемме о двух милиционерах стремится к .

Аналогично строится подпоследовательность, сходящаяся к . Теорема доказана.

Из доказанной теоремы, в частности, вытекает, что не существует такой последовательности, множеством всех частичных пределов которой является ограниченный интервал.

Будем обозначать верхний и нижний пределы последовательности через и соответственно. В качестве одного из характерных свойств этих величин докажем следующую теорему.

Теорема 3.17. Пусть – ограниченная последовательность, ; . Тогда для любого положительного числа каждому из неравенств и удовлетворяет лишь конечное множество членов последовательности.

Доказательство.Предположим противное. Пусть множество номеров членов последовательности, удовлетворяющих неравенству , бесконечно. Расположим эти номера в порядке строгого возрастания: Тогда подпоследовательность удовлетворяет неравенствам . По теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, предел которой больше чем . Ясно, что , а это противоречит тому, что - верхняя грань. Полученное противоречие доказывает теорему.

 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...