Главная Обратная связь

Дисциплины:






Бесконечно большие последовательности



В некоторой степени аналогом сходящихся последовательностей служат так называемые бесконечно большие последовательности.

Определение 3.10. Последовательность , , называется бесконечно большой (иначе ), если для любого положительного числа существует такой номер , начиная с которого выполняется неравенство , т.е. ее члены по абсолютной величине становятся и остаются больше любого наперед заданного положительного числа .

Или, в формальной записи,

( ( ) ( ) ( ): .

Следует различать понятие «бесконечно большая последовательность» и «неограниченная последовательность». Именно, любая бесконечно большая последовательность является неограниченной последовательностью (докажите!), но неограниченная последовательность необязательно бесконечно большая.

Задача 3.18. Докажите, что = является неограниченной последовательностью, но не является бесконечно большой.

 

Рассмотрение бесконечно больших последовательностей расширяет понятие сходимости. Однако термин «сходящаяся последовательность» мы будем относить к понятию последовательности, имеющей конечный предел.

Частными случаями бесконечно больших последовательностей являются последовательности, для которых и . Формально они определяются так:

( ) ( ) ( ): ,

( ) ( ) ( ): .

 

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями выражается следующей теоремой.

Теорема 3.18. Если последовательность , , бесконечно большая, то - бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Выберем произвольно число . Тогда для числа найдется такой номер , что для всех выполнено неравенство . Тогда для этих же значений n .

Справедливо и обратное утверждение: если последовательность - бесконечно малая последовательность, то - бесконечно большая (докажите!).

Дополнительное представление о свойствах бесконечно больших последовательностей помогут получить следующие утверждения, которые предлагается доказать самостоятельно.

Задача 3.19.Докажите, что последовательность является бесконечно большой, причем .

Задача 3.20.Если и , то . Докажите.

Задача 3.21. Если и , то . Докажите.

Задача 3.22.Если , а последовательность , , ограничена, то .

Задача 3.23. Докажите, что любая последовательность может быть представлена в виде суммы двух бесконечно больших последовательностей.

Задача 3.24. Докажите, что если последовательность не ограничена, то она содержит бесконечно большую подпоследовательность.

Задача 3.25. Докажите, что если последовательность , , не ограничена и монотонно возрастает, то .

Задача 3.26. Докажите, что любая последовательность содержит монотонную подпоследовательность.



 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...