Главная Обратная связь

Дисциплины:






Еще раз о числовых множествах



 

Использование числовых последовательностей и понятия сходимости позволяют расширить представления о свойствах числовых множеств.

Рассмотрим несколько определений, характеризующих положение точки относительно множества .

Определение 3.11. Пусть - некоторое множество действительных чисел. Точка называется предельной точкой этого множества, если для любого существует точка , для которой .

Теорема 3.19. Точка является предельной точкой множества в том и только в том случае, когда существует последовательность , , обладающая следующими свойствами:

1. для любого ,

2. при любом ,

3. .

В дальнейшем такую последовательность будем называть подходящей.

Доказательство. Пусть - предельная точка множества . Рассмотрим бесконечно малую последовательность положительных чисел. Для каждого найдется точка , для которой . Ясно, что обнаруженная таким образом последовательность , , является подходящей.

Обратно, если , , - подходящая последовательность, то для любого существует такое , что для всех выполнены неравенства . Полагая , убеждаемся, что , т.е. точка - предельная точка множества . Теорема доказана.

 

Множество всех предельных точек множества часто называют производным множеством и обозначают .

Задача 3.27. Для следующих множеств укажите множество всех предельных точек:

а) = ;

б) = ;

в) = , т.е. состоит из двух точек;

г) = ;

д) - множество всех рациональных точек из отрезка ;

Задача 3.28.Приведите пример множества , для которого .

Определение 3.12. Замыканием множества называется объединение и :

= .

Определение 3.13.Множество называется замкнутым, если = .

Иначе, замкнутое множество – это множество, содержащее все свои предельные точки.

Задача 3.29. Докажите, что множества = и = - замкнутые множества, а множества = , = , - множество всех рациональных точек из отрезка - незамкнутые.

Задача 3.30. Докажите, что объединение двух замкнутых множеств есть множество замкнутое.

Задача 3.31. Приведите пример такой совокупности замкнутых множеств, объединение которых незамкнуто.

Определение 3.14.Пусть - некоторое множество действительных чисел. Точка называется внутренней точкой множества , если существует такое число , что интервал содержится в .

Множество всех внутренних точек множества называется его внутренностью и обозначается .

Ясно, что для любого множества .

 

Определение 3.15.Множество называется открытым, если выполняется равенство = . Иначе, открытое множество - это множество, все точки которого внутренние.

Задача 3.32. Докажите, что любой интервал – открытое множество.



Задача 3.33 . Докажите, что любое открытое множество есть объединение попарно непересекающихся интервалов.

Задача 3.34. Докажите, что множество открыто тогда и только тогда, когда дополнение - замкнуто.

Задача 3.35. Докажите, что объединение любой совокупности открытых множеств открыто.

Задача 3.36. Приведите пример такой совокупности открытых множеств, пересечение которых не является открытым.

 

Доказательство многих утверждений математического анализа может быть основано на следующей важной лемме.

Лемма Гейне - Бореля. Пусть - замкнутое ограниченное множество, а , , некоторая совокупность открытых множеств. Пусть . Тогда найдется такое конечное подмножество множества , для которого . Другими словами, всякое покрытие замкнутого ограниченного множества открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.

Задача 3.37. Докажите частный случай леммы Гейне- Бореля, когда – отрезок, а , , - интервалы.

Задача 3.38 . Докажите лемму Гейне- Бореля в общем виде.

Определение 3.16.Множество называется нигде не плотным, если для любого интервала , где , найдется непустой интервал , содержащийся в , и непересекающийся с множеством .

Определение 3.17.Множество называется первой по Бэру категории, если его можно представить в виде объединения , где каждое из множеств нигде не плотно. Часто такое множество называют тощим. Остальные множества называются множествами второй категории.

Задача 3.39. . Докажите, что - не тощее множество.

 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...