Главная Обратная связь

Дисциплины:






Начальные определения. Терминология



 

Во вводной части нашего пособия было приведено общее определение функции. Далее речь пойдет о функциях, определенных на числовых множествах и принимающих числовые значения. Учитывая это, сформулируем определение такой функции и уточним некоторые детали.

 

Определение 4.1. Пусть и - два числовых множества, то есть , . Пусть по некоторому правилу каждому числу поставлено в соответствие число . Тогда говорят, что на множестве определена функция , действующая в множество .

Обычно используют обозначения:

, , (1)

или

: . (2)

В этом пособии будем придерживаться, в основном, второго обозначения.

Множество называется областью определения функции, а множество – областью, или множеством значений. Величина называется независимой переменной, или аргументом, а называется значением функции. Часто как синоним слова функция используют термин «отображение», называют прообразом, а , где – его образом.

 

Можно отметить значительное разнообразие вариантов происхождения и задания функций. В одних случаях функции определяются теми или иными формулами. Например, = ; здесь упомянутое правило , по которому прообразу ставится в соответствие образ имеет вид «возвести в квадрат». Или другой пример: есть значение меньшего корня уравнения . В различных технических устройствах используют всевозможные датчики, которые показывают, как те или иные физические величины – температура, скорость, сила тока и т.п. зависят от других.

Определение 4.2. Графиком функции называется множество вида

,

оно представляет собой множество упорядоченных пар чисел, которое обычно интерпретируют как множество точек плоскости в декартовой системе координат.

 

Изображение графика функции позволяет использовать зрительные возможности для получения представления о функции. Так, врач, рассматривая кардиограмму, способен сделать заключение о характере работы сердца. А кардиограмма – это график функции , где t – время, а y – электромагнитная интенсивность сердечной мышцы.

 

Над числовыми функциями можно производить различные арифметические операции.

Пусть даны две функции и , определенные на одном и том же множестве . Тогда функция , где - некоторое постоянное число, определяется как функция, в каждой точке принимающая значение ; функция – как функция, в каждой точке принимающая значение ; функция – как функция, в каждой точке принимающая значение ; в каждой точке равна , при условии .

Пусть функция : , а : . Тогда функция , определенная равенством , называется композицией функций и (сложной функцией).




Предел функции

 

Определение 4.3. Пусть функция определена на и - предельная точка множества Число называется пределом функции в точке , если для любого существует такое , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Определение 4.3 обычно называют определением предела на языке “ ” или по Коши.

Предел функции в точке обозначают так:

.

С использованием логических символов определение можно переписать следующим образом:

 

( )( ) ( ).

 

Определение предела функции в точке можно сформулировать в других терминах.

Определение 4.4. Пусть функция определена на множестве и - предельная точка множества . Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , , из условий:

и ,

следует, что соответствующая последовательность значений функции сходится к числу , то есть .

Это определение обычно называют определение на языке последовательностей или по Гейне.

 

Теорема 4.1. Определения по Коши и по Гейне равносильны.

Доказательство. Пусть число является пределом функции в точке в смысле Коши. Выберем произвольную подходящую последовательность , , т. е. такую, для которой при любом и . Покажем, что является пределом в смысле Гейне.

Зададим произвольное число и укажем для него такое , что для всех из условия следует неравенство . В силу того, что , для найдется такой номер , что для всех будет выполняться неравенство . Это, в свою очередь, означает, что для всех будет выполняться неравенство , т.е. .

Докажем теперь обратное утверждение: предположим, что в смысле Гейне, и покажем, что число является пределом функции в точке в смысле Коши. Предположим, что это неверно, т. е.

( ) ( ) ( )

и

( ).

В качестве рассмотрим , а соответствующие значения будем обозначать . Тогда при любом выполняются условия и . Отсюда следует, что последовательность , , является подходящей, но число не является пределом функции в точке . Получили противоречие. Теорема доказана.

Замечание. Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь в точке двух разных пределов.

Замечание. Понятие предела функции в точке есть локальное понятие: существование и значение предела полностью определяется значениями функции в как угодно малой окрестности этой точки.

 

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4.1. Пусть

 

Если мы воспользуемся определением 4.4, то легко убедимся, что

.

Действительно, если , , - произвольно выбранная бесконечно малая последовательность, для которой при любом , то и, следовательно, . Как видим, значение предела не зависит от a.

Этот пример убедительно иллюстрирует факт, вытекающий из определений 4.3 и 4.4: существование предела функции в точке и его значение никак не связаны с самим значением , в точке может вообще не иметь никакого значения.

Пример 4.2. Пусть . Тогда

.

Это легко вытекает из определения 4.4 и из свойств последовательностей: если , то .

Пример 4.3.Пусть - функция Дирихле:

 

Покажем, что не существует, здесь - произвольно выбранное число.

Для доказательства рассмотрим две последовательности и , для которых

1) , рационально при любом и ;

2) , иррационально при любом и (докажите, что такие последовательности существуют).

Тогда и и, так как 0 и 1 - разные числа, предел в точке не существует.

Задача 4.1. Приведите пример функции, заданной на множестве всех действительных чисел, которая имеет предел только в одной точке.

 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...