Главная Обратная связь

Дисциплины:






Расширение понятия предела. Односторонние пределы



 

Понятие предела функции, приведенное в разделе 4.2, может быть расширено в различных направлениях. Так, можно рассматривать, к чему стремится функция при условии, что либо , либо стремится к некоторому числу , оставаясь меньше этого числа, то есть при . Далее, можно предусмотреть, что функция стремится к при том или ином поведении аргумента и т.д. Возникающие таким образом варианты предельного перехода можно записать в общем виде:

стремится к при , стремящемся к .

 

Выбирая в каждом из двух столбцов по одному символу, получим тот или иной из двадцати четырех возможных вариантов. Для каждого из них можно записать формальное определение на языке “ ”, подобное определению 4.3 или на языке последовательностей, подобное определению 4.4.

 

Рассмотрим несколько случаев.

Пример 4.4. при .

Пусть функция определена на неограниченном множестве , и пусть A – некоторое число. Тогда условие

в формальной записи имеет вид:

.

Или, на языке последовательностей,

.

Задача 4.2.Рассуждая аналогично доказательству теоремы 4.1, докажите эквивалентность определений, приведенных в примере 4.4.

Пример 4.5. при .

Пусть функция определена на множестве , и пусть точка является предельной точкой множества . Пусть

.

Тогда условие

на языке “ ” имеет вид:

,

а на языке последовательностей:

.

В этом случае число называется левосторонним пределом функции и обозначается

.

Аналогично определяется правосторонний предел, при этом вместо рассматривается .

 

Теорема 4.6. Пусть функция определена на множестве , и пусть точка является предельной точкой множеств и . Тогда

существует в том и только в том случае, когда существуют и равны между собой и .

Задача 4.3.Докажите теорему 4.6.

 





sdamzavas.net - 2018 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...