Главная Обратная связь

Дисциплины:






Замечательные пределы



Теорема 4.7. .

Доказательство. Рассмотрим круг радиуса R=1 с центром в точке О. Пусть радиус OB образует угол x ( ) с радиусом OA. Сравним площади треугольника AOB, сектора AOB и треугольника AOC. Очевидно, что . С учетом R=1 получим . Отсюда . Следовательно, . Для обратных величин неравенство запишем так: . Отсюда . Преобразуем . С учетом неравенства получим: . Выше мы доказали, что , поэтому . Окончательно, . Легко видеть, что последнее неравенство справедливо и при условии . Для доказательства того, что осталось воспользоваться утверждением 4.3 (лемма о двух милиционерах для функций).

Теорема доказана.

Теорема 4.8. .

Доказательство теоремы проведем, используя определение предела на языке последовательностей. Ранее было доказано, что , то есть для последовательности = n последовательность = f(n) значений функции стремится к e.

Пусть , , . Выберем произвольно и обозначим через такой номер, что при всех m выполняется неравенство |f(m)-e|< . Так как , то найдется номер , начиная с которого , тогда при всех справедливо неравенство , то есть .

Рассмотрим теперь произвольную последовательность , , для которой . Члены последовательности можно представить в виде , где - целая часть числа , а - его дробная часть. Так как , то без ограничения общности можно считать, что при всех . Из определения целой части числа следует:

и

.

 

Поэтому

.

 

Преобразовав два крайних выражения, получим неравенство

 

.

 

Из условия следует, что и

 

, , , .

 

Таким образом, оба крайних выражения стремятся к одному и тому же пределу, и по лемме о двух милиционерах

.

Рассмотрим предел при и покажем, что . Выберем последовательность и рассмотрим последовательность .

Тогда

= =

=

= .

Очевидно, что , а . Поэтому . Отсюда следует . Теорема доказана.





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...