Главная Обратная связь

Дисциплины:






Непрерывность функции



 

Когда мы обсуждали понятие предела функции в точке, то подчеркивали тот факт, что эта точка может не принадлежать области определения функции. Но даже если эта точка входит в область определения, то значение функции в точке никак не влияет на величину предела. Поэтому отдельного внимания заслуживают такие функции, для которых предел в точке совпадает со значением в ней функции.

Определение 4.5.Пусть функция f определена на X и - предельная точка множества X, принадлежащая X Функция f называется непрерывной в точке , если . В случае, когда , но не является предельной для X, f считается непрерывной в ней без каких-либо условий.

Переформулируем понятие непрерывности функции в точке на языке “ “ (в смысле Коши).

Определение 4.6.Пусть функция f определена на X и . Функция называется непрерывной в точке , если для любого существует такое , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Замечание. Обратим внимание на то, что последним условием охвачены оба случая – когда является и не является предельной точкой множества X. Отметим также, что здесь не нужно требовать, как в определении 4.3, чтобы (почему?).

На языке последовательностей (в смысле Гейне) определение непрерывности функции в точке имеет следующий вид.

Определение 4.7.Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности , , для которой при всех и , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу , т.е. .

Обозначим через - приращение (изменение) аргумента при переходе от к x, через - соответствующее приращение функции.

Для того, чтобы функция была непрерывной в точке , необходимо и достаточно, чтобы бесконечно малому приращению аргумента соответствовало бесконечно малое приращение функции: если , то и .

 

Определение 4.8.Точка из области определения X функции f называется точкой разрыва, если в этой точке f не является непрерывной.

Для точек разрыва обычно используется следующая простая классификация.

Определение 4.9.Пусть - точка разрыва функции f .

называется точкой разрыва первого рода, если в ней существуют и конечны

и .

Ясно, что в этом случае f( ) не совпадает хотя бы с одним из этих пределов.

Определение 4.10. Точка разрыва первого рода называется устранимой точкой разрыва, если

.

Очевидно, что переопределив функцию f в точке , можно добиться непрерывности функции в этой точке.

Определение 4.11. Точка разрыва функции f называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода.

Иначе говоря, если при x +0 или при x -0 соответствующий односторонний предел не существует. В частности, при этом f(x) может стремиться к .



 

Рассмотрим нескольких примеров.

Пример 4.6. Пусть f – функция Дирихле (см. пример 4.3), X=R. Все точки из R являются точками разрыва, так как в каждой из них предел функции не существует.

Пример 4.7. Пусть f – функция Римана:

f(x)=

и дробь несократима. Покажем, что функция Римана разрывна в рациональных точках и непрерывна в иррациональных.

Пусть = . Рассмотрим последовательность , , состоящую из иррациональных чисел и сходящуюся к (например, , ). Тогда = 0, и не стремится к f( )= >0.

Пусть теперь иррационально, f( )=0. Пусть e>0 и пусть <e. Нетрудно понять, что для некоторого d>0 в d-окрестности точки нет рациональных точек вида со знаменателем . Поэтому для всех x из этой окрестности справедливо:

.

Задача 4.4. Установите характер точек разрыва в примерах 4.6 – 4.7.

Задача 4.5.** Докажите, что не существует такой функции f: R ® R, которая была бы непрерывной в каждой рациональной точке и разрывной в каждой иррациональной.

 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...