Главная Обратная связь

Дисциплины:






Свойства функций, непрерывных на отрезке



Теорема 4.12 (первая теорема Вейерштрасса). Пусть функция f определена и непрерывна на отрезке . Тогда множество ее значений ограничено на этом отрезке.

Доказательство проведем от противного. Пусть функция не является ограниченной. В таком случае для любого натурального числа n найдется значение , для которого . Последовательность , , ограничена, поэтому существует ее сходящаяся подпоследовательность , . Пусть - предел подпоследовательности , , из теоремы о предельном переходе в неравенствах вытекают неравенства . Из непрерывности функции в точке следует, что , поэтому последовательность , , ограничена. Но, с другой стороны, при любом выполняется , то есть последовательность , , неограничена. Полученное противоречие доказывает теорему.

Замечание. Предположение о непрерывности в доказанной теореме существенно. В этом можно убедиться на следующем примере:

Ясно, что эта функция, определенная на отрезке [0, 1] и разрывная только в одной точке 0, не является ограниченной. Отметим также, что теорема престает быть верной, если в ее формулировке отрезок заменить интервалом.

 

Теорема 4.13 (вторая теорема Вейерштрасса).Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда она достигает на этом отрезке точных нижней и верхней граней множества своих значений.

Доказательство. Обозначим

M=sup {f(x): a £ x £ b},

m=inf {f(x): a £ x £ b}

(здесь мы используем доказанную в предыдущей теореме ограниченность множества значений функции f). Нужно доказать, что существуют такие x*Î[a,b] и Î[a,b], для которых f(x*)=M, f( )=m.

По определению числа M для любого найдется Î[a, b], для которого . Выберем , где nÎN, тогда найдется , для которого

. (*)

Без ограничения общности можно считать последовательность сходящейся, иначе, как в доказательстве первой теоремы Вейерштрасса, рассмотрели бы сходящуюся подпоследовательность. Пусть x*=lim . Из непрерывности следует: . С другой стороны, из неравенств (*) вытекает, что M=lim . По теореме о единственности предела последовательности M= f(x*).

Существование точки доказывается аналогично.Теорема доказана.

Замечание. В теореме 4.13 условие непрерывности функции также является существенным. В этом можно убедиться на примере функции

определенной и ограниченной на отрезке [-1, 1]. Числа

M=sup {f(x): xÎ[-1, 1]}=1,

m=inf {f(x) ): xÎ[-1, 1]}= -1

не являются ее значениями.

 

Теорема 4.14.(Больцано – Коши).Пусть функция непрерывна на отрезке [a, b] где a<b, и в концах отрезка принимает значения разного знака: f(a)f(b) < 0. Тогда на интервале (a, b) найдется точка c, для которой, что f(c)=0. (Графический смысл этого утверждения: если одна из точек графика f, соответствующих a и b, лежит над осью Ox, а другая – под этой осью, то перемещаясь по графику от одного его конца к другому, мы пересечем ось Ox).



Приведем два доказательства этой важной теоремы.

Доказательство (I).Примем для определенности, что f(a)< 0, f(b)> 0. Рассмотрим точку - середину отрезка [a, b]. Если f(d)=0, то, полагая c=d, получим искомую точку, в которой функция равна нулю. Если же f(d)¹ 0, то в концах ровно одного из отрезков [a, d] или [d, b] функция принимает значения разного знака. Обозначим этот отрезок [ ] и заметим, что f( ) < 0 и f( ) > 0. Таким образом, получили ситуацию, аналогичную исходной. Снова рассмотрим середину отрезка [ ] и т.д.

На n–ом шаге мы получим отрезок [ ] где f( ) < 0 и f( ) > 0.

В зависимости от знака f( )= выбираем на (n+1)–ом шаге ту из двух половин, на концах которой функция имеет значения разного знака. Можно считать, что при каждом nÎN f( )¹ 0, иначе искомая точка была бы обнаружена.

Из описания следует, что для любого nÎN

[ ] Í [ ] и .

Поэтому последовательности и , nÎN, монотонны, ограничены и сходятся к общему пределу, который обозначим через c:

lim =lim =cÎ(a, b).

Из непрерывности f в точке c вытекает, что

f(c)= lim f( )£ 0, так как f( )<0,

и

f(c)= lim f( )³0, так как f( )>0.

Поэтому f(c)= 0, a<c<b, и теорема доказана.

Доказательство (II).Пусть f(a)>0 и f(b)<0. Рассмотрим множество точек . Оно не является пустым, так как ему принадлежит по крайней мере точка a вместе со своей полуокрестностью. Множество X ограничено, поэтому существует sup X . Обозначим: c=sup X и покажем, что f(c)=0. Предположим противное: пусть f(c)>0 или f(c)<0 . Тогда по теореме о сохранении знака непрерывной функции неравенство f(x)>0 (соответственно f(x)<0) выполнено для всех x из некоторой окрестности точки c. Но это противоречит тому, что с - точная верхняя грань множества X. Теорема доказана.

Теорема 4.15 (обобщенная теорема Больцано – Коши).Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда для любого числа C из отрезка [f(a), f( b)] найдется такая точка cÎ [a, b], для которой f(c)=C.

Для доказательства достаточно рассмотреть вспомогательную функцию F(x)=f(x)-C. Очевидно, что F непрерывна. Справедливость утверждения следует из предыдущей теоремы.

 

Задача 4.6. Пусть f: [0, 1]® [0, 1] и является непрерывной. Докажите, что существует точка x*Î[0, 1], для которой f(x*)= x* (она называется неподвижной точкой функции f ).

 

В заключении раздела рассмотрим одно важное свойство непрерывной на отрезке функции. Предварительно введем

Определение 4.12. Пусть функция f определена на множестве X. f называется равномерно непрерывной на X, если для любого e > 0 существует такое d > 0, что для любых u, vÎX из неравенства |u-v| < d следует неравенство|f(u)-f(v)| <e.

Равномерная непрерывность функции на множестве означает, что на всем множестве достаточна одна и та же степень близости двух значений аргумента, чтобы добиться требуемой степени близости значений функции.

Очевидно, что функция, равномерно непрерывная на множестве X, является на нем непрерывной функцией; обратное, вообще говоря, неверно.

Теорема 4.16 (Кантор). Если функция f непрерывна на отрезке [a,b], то она и равномерно непрерывна на нем.

Доказательство.Предположим противное: для некоторого числа e > 0 какое бы d >0 мы не выбрали, существуют два числа u, vÎX, для которых |u-v|<d и, тем не менее, |f(u)-f(v)| ³ e. Пусть последовательность чисел выбрана так, что . Для каждого такого рассмотрим пару чисел , для которых и . Без ограничения общности можно считать последовательность , nÎN, сходящейся:

,

иначе по теореме Больцано-Вейерштрасса у нее существует некоторая сходящаяся подпоследовательность. Так как , а , то последовательность чисел сходится к точке . В силу непрерывности в точке последовательности значений функции и сходятся к . Поэтому , что противоречит предположению. Теорема доказана.

 

 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...