Главная Обратная связь

Дисциплины:






Непрерывность и точки разрыва монотонной функции



 

В этом разделе будем рассматривать функции, заданные на промежутках. Напомним, что промежуток – это либо отрезок, либо интервал, либо полуинтервал.

Задача 4.7. Докажите, что множество X является промежутком, тогда и только тогда, когда для любых двух точек u и v из X отрезок [u,v] содержится в X

Определение 4.13.Пусть функция f определена на промежутке X. Она называется

а) монотонно возрастающей, если для любых u, vÎX из неравенства u< v следует неравенство f(u)£ f( v);

б) строго возрастающей, если для любых u, vÎX из неравенства u< v следует неравенство f(u)< f( v);

в) монотонно убывающей, если для любых u, vÎX из неравенства u< v следует неравенство f(u)³ f( v);

г) строго убывающей, если для любых u, vÎX из неравенства u< v следует неравенство f(u)> f( v).

Функции такого вида называются монотонными.

Теорема 4.17.Пусть f определена и монотонна на промежутке X и - внутренняя точка промежутка. Тогда в точке существуют односторонние пределы

и .

Доказательство. Пусть f монотонно возрастает на X. Рассмотрим множество

Y_={f(x): xÎX, x < },

для которого f( ) служит, очевидно, верхней гранью.

Обозначим: y*=sup Y_ и докажем, что = y*.

Действительно, пусть e – произвольно выбранное положительное число, тогда y*- e не является верхней гранью множества Y_. Поэтому для некоторого , где ÎX и < , выполняется неравенство y*- e < f ( ).

Положим d = - >0 и выберем произвольно x, удовлетворяющий неравенствам

= -d < x< .

Из возрастания f и из определения y* вытекает, что

y*-e < f( )£ f(x) £. y* < y*+e,

то есть | f(x)- y*| < ε. Утверждение доказано.

Аналогично устанавливается существование предела справа в точке . Подобным же образом доказывается существование односторонних пределов и для монотонно убывающей функции. Теорема доказана.

 

Сделаем несколько важных замечаний.

Замечание.Из доказательства теоремы 4.17 следует, что для монотонно возрастающей функции f на промежутке X в каждой внутренней точке выполняются неравенства

,

а для монотонно убывающей, соответственно, неравенства

.

С учетом теоремы об односторонних пределах приходим к следующему критерию. Внутренняя точка промежутка X является точкой разрыва монотонной функции f тогда и только тогда, когда интервал не пуст. Причем в случае, когда - точка разрыва, из всех чисел, составляющих множество f(X) значений функции, только одно, а именно f( ), может принадлежать этому непустому интервалу.

Замечание.Рассуждения, доказывающие теорему 4.17, без изменений могут быть использованы для доказательства существования соответствующего одностороннего предела в точке, которая является концом промежутка X и принадлежит ему. Так для X=[a, b] у монотонной на [a, b] функции f существуют



и .

А непрерывность функции f в точках а и b эквивалентна пустоте, соответственно, интервалов и .

 

 

Замечание. Приведенные выше рассуждения можно продолжить для описания предельного поведения множества функций в конце промежутка, не принадлежащего этому промежутку. Для определенности рассмотрим следующий вариант. Пусть функция монотонно возрастает на промежутке , правый конец которого ( здесь либо , либо ). В том случае, если ограничена сверху на , существует

;

если же сверху не ограничена, то при . Справедливость этого утверждения и ему аналогичных для монотонно убывающих функций и для левого конца промежутка устанавливается рассуждениями, близкими к доказательству теоремы 4.17.

Теперь с помощью теоремы 4.17, дополненной замечаниями, просто формулируется и доказывается критерий непрерывности монотонной функции.

Теорема 4.18. Для того, чтобы монотонная на промежутке функция была непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы ее множество значений являлось промежутком.

Доказательство. Необходимость.Предполагая непрерывность функции на , выберем произвольно две точки и из . Пусть = , = , где . Так как - промежуток, то ( см. задачу 4.7 ). А по обобщенной теореме Больцано-Коши для каждого найдется такое число , для которой = . Таким образом, с учетом утверждения из той же задачи 4.7, - промежуток.

Достаточность. Предположим теперь, что = является промежутком и установим непрерывность на функции . Рассуждая от противного, допустим, что не является непрерывной в некоторой точке . Если - внутренняя точка промежутка , то выберем две точки и из , для которых . Тогда

= , = , ,

но непустой интервал содержит бесконечно много точек, только одна из которых может принадлежать множеству . Таким образом, .

Для случая, когда точка разрыва является концом промежутка , с помощью аналогичных рассуждений доказывается существование двух чисел , для которых . Таким образом, полученное противоречие доказывает достаточность. Теорема доказана.

Замечание. Отметим, что в доказательстве необходимости не использована монотонность . Это означает, что множество значений любой непрерывной на промежутке функции является промежутком.

Задача 4.8. Приведите пример функции , заданной на промежутке и имеющей на нем точки разрыва, для которой - промежуток.


Обратная функция

Предположим, что некоторая функция определена на множестве , множество = - область значений этой функции и для любых , если , то также. В этом случае рассмотрим новую функцию , действующую по следующему правилу: для каждого значение полагается равным такому , для которого . Заметим, что из сформулированных предположений следует корректность задания функции , состоящая в том, что для каждого определено единственное . Определенная таким образом функция называется обратной к функции и обозначается .

Задача 4.9. Пусть функции определены условиями:

а) ;

б) ;

в) .

Выясните, в каких случаях из а) - в) определена обратная функция и найдите ее.

 

Отметим, что если множество точек плоскости служит графиком функции , то это же множество представляет собой график обратной функции , только теперь множество значений аргумента (независимой переменной) – это , а - множество значений функции .

Но так как обычно предпочитают через обозначать независимую переменную, то при замене обозначений появляется формула , а точка с координатами переходит в точку , где . Поэтому графики функций и симметричны относительно прямой .

 

Для строго монотонной функции условие существования обратной функции выполняется автоматически: если , то . Поэтому чаще всего обратные функции рассматриваются для строго монотонных. Тогда же, когда исходная функция f не является строго монотонной на X , можно рассмотреть некоторый промежуток , на котором условие строгой монотонности выполняется и перейти к функции , где , при .

В таких случаях говорят, что - сужение функции . Так, известные по школьному курсу функции arcsin и arctg являются обратными не к sin и tg, а к их сужениям, где ( соответственно, ).

Теорема 4.19. Пусть функция определена, строго возрастает и непрерывна на множестве . Тогда обратная функция строго возрастает и непрерывна на множестве .

Доказательство. Заметим прежде всего, что является промежутком в силу теоремы 4.18.

Докажем, что является строго возрастающей функцией. Действительно, пусть и , и пусть . Тогда из определения обратной функции следует, что и , причем неравенство невозможно по предположению о строгом возрастании и так как . Следовательно, . Непрерывность функции на промежутке вытекает теперь из теоремы 4.18. Достаточно заметить, что является промежутком, а монотонна по доказанному выше. Теорема доказана.

Замечание. Теорема 4.19. останется справедливой, если в ее формулировке слово “возрастает” заменить словом “убывает”.





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...