Главная Обратная связь

Дисциплины:






Элементарные функции. Теорема о непрерывности



 

Словами «элементарные функции» принято называть алгебраические многочлены, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции, а также всевозможные функции, которые получаются из перечисленных с помощью арифметических операций и образования сложной функции. Эти функции хорошо изучены, они издавна и широко используются в самой математике и в различных приложениях. Первое знакомство с такими функциями происходит на уроках элементарной математики – отсюда, надо думать, и название.

Приведенное описание множества элементарных функций дает основание выделить в нем основные элементарные функции (их иногда называют простейшими элементарными, но термин «простейшие» может неправильно ориентировать). К основным элементарным функциям относятся:

а) постоянная функция

f(x) c=const с областью определения X=R;

б) линейная функция

f(x)=x, X=R;

в) показательная функция с натуральным основанием, или экспонента

f(x)= , X=R;

г) натуральный логарифм (то есть функция, обратная к экспоненте)

f(x)=ln x, X={xÎR: x>0};

д) тригонометрические функции

f(x)=sin x, X=R;

f(x)=cos x, X=R;

f(x)= tg x, X={xÎR: x , где k=0, };

f(x)=ctg x, X={xÎR: x , где k=0, };

е) обратные тригонометрические функции

f(x)= arcsin x, X=[-1. 1];

f(x)= arсcos x, X=[-1. 1];

f(x)= arctg x, X=R;

f(x)= arcctg x, X=R.

 

Теорема 4.20. Каждая из основных элементарных функций является непрерывной на соответствующем множестве X.

Доказательство. а) Непрерывность постоянной функции очевидным образом следует из того, что ее приращение равно нулю для любой точки и для любого приращения

б) Для функции f(x)=x выполняется:

.

Поэтому, используя определение непрерывности на языке “e-d “, достаточно положить d=d(e)=e.

в) Непрерывность экспоненты устанавливается несколько сложнее.

Предварительно заметим, что ниже в рассуждениях используются хорошо знакомые по школьному курсу математики алгебраические свойства общей показательной функции: если , то

, , ,

и если , то при u>0.

Пусть - произвольно выбранное число. Тогда

.

Таким образом, для доказательства равенства достаточно убедиться в том, что при . Иначе говоря, доказав непрерывность экспоненты в нуле, мы получим ее непрерывность в произвольной точке ÎR.

Далее, учитывая, что , остается доказать равенство

.

В разделе 3.7 было доказано, что lim для любого . Поэтому для произвольно выбранного e >0 существует mÎN, при котором

.

Положим d = >0. Тогда для любого x из неравенств 0<x<d следует:



,

и

.

Непрерывность экспоненты доказана.

г) Функция f(x)= ln x является обратной к непрерывной (по доказанному) и строго возрастающей (очевидным образом) экспоненте. Поэтому на основании теоремы 4.19 она непрерывна.

д) Если f(x)=sin x, то

.

А так как |sin u|£| u| и |cos u| £ 1, то

. Поэтому в условии непрерывности на языке «e-d» можно положить d=e. Аналогично доказывается непрерывность f(x)= cos x.

Функции tg x и ctg x непрерывны, так как представляют собой отношения непрерывных функций:

.

 

е) Непрерывность обратных тригонометрических функций непосредственно следует из теоремы 4.19 так как сужения на промежуток соответствующих прямых функций

g(y)= sin y, ;

g(y)= cos y, ;

g(y)= tg y, ;

g(y)= ctg y, ;

являются строго монотонными (проверьте!) и, по доказанному в д), непрерывными.

Теорема доказана.

Учитывая сказанное в начале этого раздела, можно конкретизировать понятие элементарной функции.

Определение 4.14. Класс элементарных функций – это такое множество, которое содержит все основные элементарные функции, а так же получающиеся из них с помощью арифметических операций и операций образования сложной функции.

Замечание. Иногда к элементарным относят также и функции, обратные к монотонным сужениям функций из описанного определением 4.14 класса.

Теорема 4.21. Каждая элементарная функция непрерывна во всех точках своей области определения.

Доказательство.Справедливость теоремы следует из того, что, во-первых, основные элементарные функции по предыдущей теореме непрерывны, и, во-вторых, в силу теорем 4.10 и 4.11 о непрерывности суммы, разности, произведения, отношения, композиции непрерывных функций. Добавим, что утверждение теоремы остается справедливым и для расширенного класса элементарных функций на основе последнего замечания. Теорема доказана.

 

Установленная непрерывность элементарных функций является важным и полезным свойством. Доказательство многих математических фактов основывается на использовании непрерывности элементарных функций. Для иллюстрации рассмотрим два примера, связанные со вторым замечательным пределом.

Пример 4.8. Докажем, что

.

Для этого воспользуемся вторым замечательным пределом

.

Отсюда следует, что

,

и, в силу непрерывности логарифмической функции, получим требуемое равенство.

Пример 4.9. Докажем, что

.

Обозначим через . Из непрерывности экспоненты следует, что y(x) ® 0 при x ® 0. Поэтому

при x ® 0.

 

В заключение отметим, что элементарными функциями не исчерпывается множество всех «полезных» функций. В различных вопросах математического анализа и математики вообще приходится рассматривать важные функции, которые не являются элементарными. Такие функции обычно называют специальными.

Задача 4.10. Докажите, что функция Дирихле (пример 4.3) не является элементарной.


Оглавление

 

1. Введение 3

1.1. О предмете 3

1.2. Немного истории 5

1.3. О целях настоящего учебного пособия 6

2. Действительные числа. Числовые множества 7

2.1. Предварительные замечания 7

2.2. Аксиоматическое определение множества действительных чисел 8

2.3. Обсуждение аксиом 1-14 и некоторые следствия из них 10

2.4. Теорема о точной нижней грани 12

2.5. Натуральные числа 14

2.6. Несколько замечаний о числовых множествах 17

3. Числовые последовательности 18

3.1. Определение последовательности. Числовые последовательности. Примеры 18

3.2. Предел последовательности 20

3.3. Ограниченность сходящейся последовательности. Теорема о единственности предела 23

3.4. Неравенства и предельный переход. Лемма о двух милиционерах 25

3.5. Монотонные последовательности 27

3.6. Бесконечно малые последовательности 30

3.7. Сходимость и арифметические операции 32

3.8. Критерий Коши 35

3.9. Подпоследовательности. Частичные пределы 37

3.10. Бесконечно большие последовательности 41

3.11. Еще раз о числовых множествах 43

4. Функции одной переменной 46

4.1. Начальные определения. Терминология 46

4.2. Предел функции 48

4.3. Свойства функций, имеющих предел 51

4.4. Критерий Коши существования предела функции 52

4.5. Расширение понятия предела. Односторонние пределы 53

4.6. Замечательные пределы 55

4.7. Непрерывность функции 58

4.8. Свойства непрерывных функций 61

4.9. Свойства функций, непрерывных на отрезке 62

4.10. Непрерывность и точки разрыва монотонной функции 66

4.11. Обратная функция 69

4.12. Элементарные функции. Теорема о непрерывности 71

 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...