Главная Обратная связь

Дисциплины:






Примеры решения задач. В задачах 11.2.1-11.2.2 вычислить несобственные интегралы (или доказать их расходимость) а) по определению



В задачах 11.2.1-11.2.2 вычислить несобственные интегралы (или доказать их расходимость) а) по определению, б) по формуле Ньютона-Лейбница .

11.2.1. .

а) ◄ .

Интеграл сходится. ►

б) ◄

11.2.2. .

а) ◄ . Интеграл расходится. ►

б) ◄

11.2.3.Найти площадь фигуры, заданной неравенствами

(рис. ).

. ►

11.2.4.Исследовать сходимость несобственного интеграла .

◄ Применим признак сравнения. При и . Интеграл сходится (см. задачу 11.2.1), поэтому сходится и интеграл . ►

11.2.5.Исследовать сходимость несобственного интеграла

.

◄ Применим предельный признак сравнения. В числителе и знаменателе дроби сохраним только слагаемые с наибольшими степенями – “главные” при . Получим функцию , эквивалентную : . Это можно проверить и непосредственно по определению эквивалентности: .

Так как - расходится, то расходится и интеграл .►

11.2.6.Исследовать сходимость несобственного интеграла .

◄ Так как , а интеграл сходится, то по признаку сравнения сходится и интеграл . Но это означает, что сходится абсолютно. ►

Замечание. В примерах 11.1.5 и 11.1.6 мы могли не вычислять интегралы и , а просто сослаться на то, что они являются частными случаями стандартного интеграла при (расходящегося) и (сходящегося).

Задачи для самостоятельного решения

В задачах 11.3.1-11.3.8 вычислить несобственные интегралы (или доказать их расходимость) а) по определению, б) по формуле Ньютона-Лейбница .

11.3.1. 11.3.2.
11.3.3. 11.3.4.
11.3.5. 11.3.6.  
11.3.7. 11.3.8.

В задачах 11.3.7-11.3.12 исследовать сходимость несобственных интегралов.

11.3.9. . Указание. при . 11.3.10. . Указание. .
11.3.11. . 11.3.12. .
11.3.13. . 11.3.14. .

 

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Сведения из теории

Пусть функция определена и непрерывна во всех точках отрезка за исключением точки , в любой окрестности которой она неограниченна. Тогда не существует в обычном смысле, как предел интегральных сумм. В этом случае полагают

при ,

при ,

при .

Если пределы, стоящие в правых частях этих формул, существуют и конечны, то соответствующие интегралы называют сходящимися, в противном случае – расходящимися.

 





sdamzavas.net - 2018 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...