Главная Обратная связь

Дисциплины:






Рекомендации к выполнению задания. 1. Дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными называется уравнение вида



1. Дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными называется уравнение вида , где и – непрерывные функции. Это уравнение записывают в виде и получают общий интеграл уравнения, интегрируя обе части полученного равенства .

Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение (2),

где , , , – известные функции.

Применим метод разделения переменных. Разделим обе части уравнения (2) на множитель и получим уравнение с разделенными переменными , которое решим рассмотренным выше способом. Для уравнений (2) следует проверить не потеряны ли решения у = у0 и х = х0, где у0 – вещественный корень уравнения N2(у) = 0, а х0 - вещественный корень уравнения М2(х) = 0.

2.Для рассмотрения однородных дифференциальных уравнений первого порядка введем понятие однородных функций.

7) Функция называется однородной n-го измерения по своим переменным х и у, если она удовлетворяет равенству .

Для однородной функции нулевого измерения (при n = 0):

а) Однородная функция нулевого измерения фактически зависит от отношения , так как, если в соотношении считать , то

б) Отношение двух однородных функций одного и того же измерения является однородной функцией нулевого измерения. Пусть , где и однородные функции n-го измерения, то есть , тогда

.

8) Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида (3), правая часть которого является однородной функцией нулевого измерения, то есть .

Для решения однородного уравнения используется подстановка y = x∙u(x) , где u(x) - неизвестная функция и y/ = u(x) + x ∙ u/(x) . Уравнение (3) сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Замечание. Уравнение является однородным, если его правая часть или зависит фактически от отношения , или является отношением двух однородных функций одного измерения.

Уравнение вида является однородным, если P(x,у) и Q(х,y) - однородные функции одного измерения.

3. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида (4/) , где , , – известные непрерывные на (а;b) функции. Путем деления обеих частей уравнения на функцию это уравнение можно привести к виду

(4),

где , g(x) = . Это уравнение линейное, так как y и входят в уравнение в первой степени. Общее решение уравнения (4) имеет вид:

Это решение можно найти методом Бернулли с помощью подстановки

у = u(x)∙v(x), где u(x) и v(x) – неизвестные функции.

Если уравнение a(x)=0 имеет вещественный корень х = х0, то следует проверить, не потеряно ли решение у = с(х0)/b(x0) уравнения (4/).



4.Для определения типа дифференциального уравнения его надо сначала преобразовать и привести к стандартному виду. Иногда дифференциальное уравнение может принадлежать нескольким типам. Тогда оно допускает различные методы решения.





sdamzavas.net - 2018 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...