Главная Обратная связь

Дисциплины:






Работа силы и пары сил. Мощность.



Элементарная работа силы вводится по определению как скалярное произведение вектора силы на вектор элементарного перемещения точки её приложения, Рис. 4.10:

; (1)

; - элементарная работа.

Размерность работы – [Н*м]=[Дж], вытекает из формулы (1).

Можно показать, что момент пары сил совершает работу

только при повороте тела. Обозначим вектор элементарного Рис.4.10. К определению угла поворота тела , Рис. 4.11, и представим работы силы

ненулевую работу пары сил по аналогии с работой силы

в виде

. (2)

Направление вектора определяется так же, как

направление вектора угловой скорости тела.

В качестве примеров Рис. 4.11. К определению работы

вычислим работу силы тяжести пары сил

вблизи поверхности Земли и работу упругой силы пружины.

Пусть точка приложения силы тяжести перемещается из положения М в положение М1, Рис. 4.12 . Ось Oz системы координат направлена вертикально вверх.

Элементарную работу силы тяжести найдём по формуле (1)

. (3)

Интегрируя (3) по z от z1 до z2, получим

; . (4)

Если бы точка М двигалась из точки М2 вточку М1, то работа А21 оказалась бы отрицательной и равной - . Итак, работа силы тяжести в общем случае вычисляется по формуле

Рис.4.12. Определение работы .(5)

силы тяжести

В правой части (5) следует использовать знак плюс, если точка приложения силы тяжести при перемещении из одного положения в другое опускается вниз по вертикали, и знак минус в противном случае. Видно, что работа силы тяжести не зависит от пути, по которому точка М перемещается из одного положения в другое. Силы, обладающие таким свойством, называются потенциальными.

Нетрудно заметить, что правая часть формулы (3) есть полный дифференциал функции - , поэтому штрих в левой части этой формулы можно опустить.

Если z2=0, то, полагая z1=z, из (4) получаем

. (6)

Вычислим теперь работу упругой силы, линейно зависящей от абсолютной деформации одномерного упругого элемента, например, упругой нити или пружины. На Рис.4.13 показана средняя линия пружины, один конец которой закреплён неподвижно в точке O, а свободный конец М перемещается по некоторой траектории из начального положения в положение . Когда свободный конец пружины находится в точке , пружина сжата, и её упругая сила

оказывается равной: Рис. 4.13. Определение работы

; (7) упругой силы пружины

 

с - жёсткость пружины; , - соответственно длины недеформированной и сжатой пружины; - орт вектора , .

Элементарная работа упругой силы определяется формулой

. (8)

Здесь скалярное произведение можно трактовать какпроекцию вектора элементарного перемещения точки М на направление вектора :



. (9)

В последней формуле учтено, что . Величина есть абсолютная деформация пружины в момент, когда её свободный конец находится в положении .

Найдём работу упругой силы пружины на перемещении её свободного конца из положения М1 в положение М2. Для этого проинтегрируем выражение (8) для элементарной работы с учётом равенства (9)

. (10)

Из (10) видно, что работа упругой силы пружины не зависит от вида траектории её свободной точки М,а зависит лишь от деформации пружины в её начальном и конечном положениях.

Если точка М перемещается прямолинейно, например, вдоль оси Ox, и если начало этой оси совпадает с положением свободного конца М0 пружины в её недеформированном состоянии, то формула (10) для работы упругой силы преобразуется к виду

. (11)

Здесь , - значения координаты свободного конца пружины в начальном и конечном положениях.

Если, кроме того, =0, то, обозначив , из (12) получаем

. (12)

Введём понятие мощности как скорость изменения работы, то есть . Воспользовавшись формулами (1) и (2) для элементарной работы, определим мощность силы и пары сил:

; - (13)

мощность силы;

. - (14)

мощность пары сил; , - соответственно скорость точки приложения силы и угловая скорость тела, на которое действует пара сил. Размерность мощности - [Н*м/c]= [Дж/c]= [ватт].





sdamzavas.net - 2018 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...