Главная Обратная связь

Дисциплины:






Ряды с положительными членами



Числовые ряды

 

Понятие числового ряда

 

Даны члены числовой последовательности u1, u2, …, un, … . Выражение u1+u2+…+un+… называется числовым рядом. Числа u1, u2, …, un, … называются членами ряда. un – общий член ряда. Сокращенно ряд записывают .

Запишем суммы S1 = u­1, S2 = u1+u2, S3 = u1+u2+u3, … , Sn = u1+u2+…+un, … Их называют частными или частичными суммами ряда. Частные суммы образуют бесконечную числовую последовательность S1, S2, S3, …, Sn, … .

Если существует конечный предел последовательности частных сумм , то ряд называют сходящимся. Число S называют суммой ряда и записывают .

Если предел последовательности частных сумм не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.

Пример1.

Задан ряд:

Запишем частную сумму ряда:

Члены ряда представим следующим образом:

Ряд сходится, и его сумма равна 1.

 

Пример 2.

Ряд называется рядом геометрической прогрессии со знаменателем q. Этот ряд сходится только при |q| < 1 и его сумма равна .

Пример 3.

Ряд называется гармоническим. Он является расходящимся.

 

Ряды с положительными членами

Ряд u1 + u2 + … + un + … называется рядом с положительными членами, если при всех значениях n выполняется неравенство un > 0.

Пусть даны два ряда с положительными членами

 

, (1)

 

. (2)

 

Если при всех значениях n выполняется неравенство , то ряд (2) называется мажорантным по отношению к ряду (1), а ряд (1) называется минорантным (т. е. рядом с меньшими членами).

 

Теорема (признак сравнения). Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1). Из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

 

Пример 1.

Исследовать сходимость ряда: .

Данный ряд можно сравнить с гармоническим рядом , т. к. . Гармонический ряд расходится, значит, данный ряд расходится.

 

Пример 2.

Исследовать сходимость ряда: .

Члены данного ряда не больше соответствующих членов ряда

, т. к. . Ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем <1. Такой ряд сходится, следовательно, ряд сходится.

 

Пример 3.

Исследовать сходимость ряда: .

Члены данного ряда не меньше соответствующих членов гармонического ряда , т. к. . Гармонический ряд расходится, значит, по признаку сравнения рядов данный ряд расходится.

 

 

Признак Даламбера

Дан ряд с положительными членами u1 + u2 + … + un + … .

Пусть .

1. Если l < 1, то ряд сходится.

2. Если l > 1, то ряд расходится.



3. Если l = 1, то признак вопроса не решает.

 

Пример 1.

Исследовать сходимость ряда: , , .

<1. Ряд сходится.

 

Пример 2.

Исследовать сходимость ряда: , , .

. Ряд расходится.

 

Пример 3.

Исследовать сходимость ряда: , , .

Ряд сходится.

 

Пример 4.

Исследовать сходимость ряда: , , .

Ряд сходится.

 

 





sdamzavas.net - 2018 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...