Главная Обратная связь

Дисциплины:






Разложение в ряд Фурье непериодических функций



Пусть f(x) – непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Если необходимо разложить её в ряд Фурье на промежутке [-l;l], то вводят вспомогательную функцию с периодом 2l, значения которой совпадают со значениями f(x) на промежутке [0;l]. Если функция удовлетворяет условиям Дирихле, то её можно представить соответствующим рядом Фурье.

Иногда приходится иметь дело с функциями, заданными только на промежутке [0;l]. В этом случае мы можем сначала продолжить функцию на интервал (-l;0), а затем продолжить её на всю числовую ось периодически с периодом 2l. Чаще всего функцию продолжают четным или нечетным образом. Таким образом можно получить бесчисленное множество рядов Фурье для функции f(x), заданной на промежутке [0;l].

 

Пример 1.

Разложить в ряд по синусам функцию f(x)=1, заданную на промежутке (0;l].

Решение. Для разложения функции в ряд по синусам надо сначала её продолжить на промежуток [-1;0] нечетным образом, а затем полученную функцию продолжить периодически на всю числовую ось. Тогда график функции будет иметь вид:

 
 

 


Коэффициенты ряда вычисляются по формулам (12). Здесь надо принять l=1, f(x)=1. Тогда:

 

.

 

Итак:

, , , , , , …

 

Ряд Фурье для данной функции имеет вид:

 

.

 

Библиографический список

1. Шнейдер В. Е. Краткий курс высшей математики / В. Е. Шнейдер,

А. И. Слуцкий, А. С. Шумов. – М. : Высшая школа, 1978г.

2. Жевняк Р.М. Высшая математика / Р.М. Жевняк, А.А. Карпук. – М. : Высшая школа, 1985г.

3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М. : Высшая школа, 1988г.

 

 





sdamzavas.net - 2018 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...