Главная Обратная связь

Дисциплины:






Способы задания движения точки



 

Прежде чем заняться исследованием движения точки, определением характеристик этого движения, надо научиться определять положение точки в пространстве в нужный момент времени.

Для этого существует несколько способов задания движения.

 

1) Естественный способ.

Рис. 8.1.
Чтобы определить движение точки ес­тест­вен­ным способом должно быть заранее за­дано (рис. 8.1): траектория движения точки ( линия, по кото­рой точка движется); начало отсчёта (точка , от кото­рой по траектории отсчитыва­ется расстояние s до движущейся точки М ); на­правление, в ко­тором от­кладываются поло­жительные зна­чения характери­стик движе­ния (указыва­ется стрелкой, либо зна­ками + и − ); закон движения s = s(t).

Пример 8.1. Точка движется по прямой линии, по закону (рис. 8.2).

В начале движения, при Положение точки назы­вается начальным положением. При

Рис. 8.2.
Конечно, за точка прошла расстоя­ние M0M1=2см.Так что s – это не путь пройден- ный точ­кой, а расстояние от начала отсчёта до точки.

 

2) Координатный способ.

Этим способом положение точки в какой либо системе координат определяется её координатами (рис. 8.3). При движении точки эти координаты изменяются. Поэтому, чтобы определить положение точки в нужный момент времени, должны быть заданы координаты как функции

времени : (8.1)

Эти функции называются уравнениями движения точки.

Уравнения движения позволяют определить не только положение точки в любой момент времени, но и все характеристики движения, в том числе и траекторию движения.

Чтобы получить уравнение траектории надо из уравнений движения исключить параметр .

 

Пример1.2. Движение точки задано уравнениями

Чтобы исключить время, параметр t, найдём из первого уравнения из второго Затем возведём в квадрат и сложим. Так как получим Это урав- нение эллипса с полуосями и (рис. 8.4).

Начальное положение точки (при ) определяется координатами Через точка будет в положении с координатами

Примечание.

Движение точки может быть задано с помощью и других координат. Например, цилиндрических или сферических. Среди них будут не только линейные размеры, но и углы. При необходимости, с заданием движения цилиндрическими и сферическими координатами можно познакомиться по учебникам.

 

3) Векторный способ.

Положение точки можно определить заданием вектора , проведённого из неподвижной точки , предполагая, что точка находится на конце этого вектора (рис. 8.3). Этот вектор называется радиусом-вектором точки. Конечно, чтобы определить положение точки в любой момент времени, радиус-вектор должен быть задан как функция времени



Нетрудно установить зависимость между векторным и координатным способами задания движения.

Разложим вектор на составляющие по осям координат:

где - проекции вектора на оси; – единичные векторы направленные по осям, орты осей. Так как начало вектора находится в начале координат, то проекции вектора будут равны координатам точки .Поэтому

(8.2)

Траектория движения точки – это линия, которую описывает конец изменяющегося радиуса-вектора. Эта линия называется годографом вектора .

Скорость точки

 

Известно, что при движении точки по прямой линии с постоянной скоростью, равномерно, скорость её определяется делением пройденного расстояния s на время: . При неравномерном движении эта формула не годится. И метод определения скорости зависит от способа задания движения.

 

1) Определение скорости точки при векторном способе задания движения.

Пусть точка за малое время Dt пе­решла из положения в . При этом радиус-вектор её изменится на (рис. 8.5). Так как время мало, можно предположить, что часть траектории почти прямая, равна хорде , и движение близко к равно­мерному. Тогда приближённо скорость

 

точки можно найти так (так как – вектор, то и – вектор).

Конечно, чем меньше время тем ближе будет значение скорости к истинному. Поэтому

 

Итак. Скорость точки есть производная от радиуса-вектора точки по времени:

(8.3)

Направление вектора скорости находим как предельное направление при , т.е. при приближении точки к точке . Но такой процесс определяет касательную в точке . Следовательно, вектор скорости направлен по касательной к траектории и в сторону движения. И наоборот, вектор скорости определяет направление движения точки в данный момент времени.

 

2) Определение скорости точки при координатном способе задания движения.

Как уже установлено, Учитывая (8.2), получим

(8.4)

Вектор скорости как всякий вектор можно разложить на составляющие по осям:

(8.5)

Сравнивая (8.4) и (8.5), устанавливаем, что проекции вектора скорости на оси есть первые производные от соответствующих координат по времени:

(8.6)

И модуль скорости

(8.7)

Направление вектора скорости можно определить графическим способом, откладывая в масштабе соответствующие составляющие вектора, или с помощью направляющих косинусов: где – углы между вектором и осями , соответственно.

 

3) Определение скорости точки при естественном способе задания движения.

Величину скорости (см. п.1) можно определить как предел ( – длина хорды ):

где – длина дуги . Первый предел равен единице, второй предел – производная

Следовательно, скорость точки есть первая производная по времени от закона движения:

(8.8)

Направлен вектор скорости, как было установлено ранее, по касательной к траектории. Если величина скорости в данный момент будет больше нуля, то вектор скорости направляется в положительном направлении (см. §1, п.1).

 

Ускорение точки

 

Ускорение точки – это характеристика движения точки, которая определяет изменение вектора скорости по величине и по направлению.

Если точка движется равнопеременно и по прямой линии, то величина ускорения определяется делением изменения скорости на время В общем же случае определение ускорения зависит от способа задания движения точки.

 

1) Определение ускорения точки при векторном способе задания движения.

Пусть за время точка перешла из положения в и за это время вектор скорости изменился на (рис.8.6).

Полагая, из-за малости времени , дугу почти прямой, а дви- жение – близким к равнопеременному, найдём при­ближенное, среднее

Рис. 8.6.

 

ускорение (так как – вектор, то и – вектор, направленный параллельно ).

Конечно, чем меньше тем точнее будет определено ускорение. Поэтому точное ускорение

Следовательно, ускорение точки есть производная от вектора скорости или вторая производная от радиуса-вектора точки по времени:

Рис 8.6.
(8.9)

Направление вектора ускорения можно определить как предельное положение вектора при . Нетрудно обнаружить, что ускорение не направлено по касательной, а направлено вероятно в сторону вогнутости траектории (рис. 8.6).

 

2) Определение ускорения при координатном способе задания движения.

Подставив в (8.9) выражение радиуса-вектора через координаты (8.2), получим

Отсюда следует, что проекции вектора ускорения на оси равны вторым про­изводным по времени от соответствующих координат точки:

(8.10)

Поэтому модуль вектора ускорения

Направление вектора можно найти или графическим способом, откладывая в масштабе составляющие параллельно осям с учётом знака, или с помощью направляющих косинусов: ( – углы между вектором и осями соответственно).

Пример 8.3. Движение точки задано уравнениями .

Из первого уравнения . Подставив во второе, получим уравнение траектории:

Это уравнение параболы (8.7). В на­чале движения, при , точка находи­лась на самом верху, в положении ( ).

А, например, при t =0,5c она будет в положении с координатами

Рис 8.7.
Проекции скорости на оси

 

При И модуль скорости Составляющие скорости по осям и вектор её показаны в масштабе на рис. 8.7.

Проекции ускорения . Так как проекция вектора на ось равна нулю, а на ось – отрица­тельна, то вектор ускорения на­правлен верти­кально вниз, и величина его постоянна, не за­висит от времени.

3) Определение ускорения точки при естественном способе задания движения.

Прежде всего – несколько сведений из дифференциальной геометрии.

Рис. 8.8.
Покажем в точке на пространствен­ной линии три взаимно перпендикулярные оси. Ось направим по каса­тельной к линии (рис. 8.8). Оси и – в плоскости, перпендикулярной оси (в нормальной плоскости I). Ось , которая называется главной нормалью, направлена по линии пересечения нормальной плоскости и соприкасающейся плоскости в сторону вогнутости линии.

Плоскость названа соприкасающейся потому, что она как бы при­став­лена сбоку к кривой, соприкасается с ней.

Ось , перпендикулярная и , называется бинормалью (“вторая” нормаль).

При движении точки эти оси движутся вместе с нею. Называются эти оси естественными осями. Единичные векторы , направленные по осям, являются ортами соответствующих осей.

Производная характеризует крутизну, кривизну линии в точке , – кривизна линии. А величина обратная кривизне называется радиусом кривизны в точке M. Точка , расположенная на главной нормали , на расстоянии , называется центром кривизны.

Вектор скорости точки направлен по оси . Поэтому его можно записать так: ( – алгебраическая величина скорости ).

Ускорение точки

(8.11)

Следовательно, ускорение состоит из двух векторов. Первый вектор Величина его равна а направлен он по оси .

Чтобы определить величину и направление второй составляющей, надо найти производную

Поэтому второй вектор

Теперь становится понятно, что вектор по величине будет равен , а направлен по главной нормали, по оси , как единичный вектор .

Так как первая составляющая ускорения направлена по касательной к траектории, это ускорение называют касательным ускорением, ; вторую составляющую, соответственно её направлению – нормальным ускорением, .Поэтому полное ускорение

(8.12)

 

Величина этих составляющих ускорения:

(8.13)

Обратим внимание на то, что вектор ускорения находится в соприкасающейся плоскости, проекция его на бинормаль равна нулю, .

Так как векторы и перпендикулярны друг другу, то

(8.14)

Рассмотрим два частных случая.

 

Первый. Точка движется по прямой линии с переменной скоростью. Нормальное ускорение , так как радиус кривизны прямой линии равен бесконечности. А касательное Поэтому,

Второй случай. Точка движется по кривой линии, но с постоянной по величине скоростью. В этом случае а так как радиус кривизны конечная величина. Значит

Сравнение этих двух случаев, позволяет сделать вывод, что касательное ускорение характеризует изменение вектора скорости по величине, а нормальное ускорение – изменение вектора скорости по направлению.

 

Пример 8.4 Точка движется по окружности радиуса по закону . При . Значит, движение началось из (рис. 8.9).

Судя по этим результатам, точка сначала двигалась в положительном направлении, а затем пошла обратно. В крайнем положении скорость точки станет равной нулю.

Рис. 8.9.
Так как то положив , найдём время когда точка окажется в этом крайнем положении: Значит определяет это

 

положение точки.

 

Найдём скорость и ускорение точки при Скорость . Направлен вектор скорости в положительном на­правлении ( >0).

Касательное ускорение . Вектор направлен в отрицательном направлении. Нормальное ускорение ( радиус кривизны дуги окружности равен её радиусу ). Полное ускорение

Так как вектор скорости и вектор касательного ускорения направлены в противоположные стороны, точка в этот момент движется замедленно.

 

III. Основные виды движения твёрдого тела





sdamzavas.net - 2018 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...