Главная Обратная связь

Дисциплины:






Теоретическое описание. Радиус кривизны R гладкой сферической поверхности можно определить, измерив период колебания Т шарика



Радиус кривизны R гладкой сферической поверхности можно определить, измерив период колебания Т шарика, катающегося по этой поверхности.

Если пренебречь потерями энергии, затрачиваемой на преодоление диссипативной силы трения, то для катающегося без проскальзывания шарика должен выполняться закон сохранения механической энергии. Центр масс C шарика движется поступательно, но, кроме того, шарик вращается относительно оси z, проходящей через точку C перпендикулярно плоскости (рис.1). Поэтому полная механическая энергия шарика

(1)

Рис.1
Здесь m – масса шарика; - его момент инерции относительно оси z; r – радиус шарика.

Модуль угловой скорости w шарика вокруг оси z связан с модулем скорости Vc поступательного движения центра масс соотношением

. (2)

Подставляя (2) и выражение для Jc в (1), получаем

. (3)

Но при качении шарика по сферической поверхности его центр масс отклоняется относительно центра O поверхности на угол j. Из рис.1 видно, что угол j связан с углом поворота q шарика относительно оси z соотношением

(4)

где . Кроме того, из прямоугольного треугольника ОВС следует, что

. (5)

Подставляя (4) и (5) в формулу (3), выражаем полную механическую энергию шарика через угол j:

. (6)

В верхней точке траектории скорость шарика равна нулю и вся механическая энергия шарика переходит в потенциальную. При прохождении шариком положения равновесия (h=0) скорость и кинетическая энергия шарика максимальны.

Рассмотрим кинематику движения шарика. Скорость его центра масс С всегда направлена по касательной к траектории (рис.2). Полное ускорение центра масс равно сумме тангенциального и нормального ускорений. Ускорение направлено также по касательной к траектории. Его модуль связан с модулем углового ускорения вращения шарика вокруг оси z формулой

. (7)

Ускорение направлено к центру кривизны. Его модуль

. (8)

Эти модули изменяются при колебательных движениях шарика периодически. В верхней точке траектории при наибольшем отклонении шарика от положения равновесия Vc шарика и an равны нулю, а ar достигает максимума. При прохождении положения равновесия, наоборот, , а Vc и an максимальны.

Найдем период колебаний шарика. Для этого необходимо получить динамическое уравнение колебаний (т.е. уравнение динамики для поступательного или вращательного движения колеблющегося шарика).Для любых незатухающих гармонических колебаний это уравнение имеет общий вид

. (9)

Физическое тело будет совершать гармонические колебания в том случае, если на него действует сила или момент силы, пропорциональные смещению от положения равновесия и стремящиеся вернуть тело в положение равновесия.



Воспользуемся законом сохранения механической энергии (6). Возьмем производную по времени от обеих частей этого уравнения, сократим полученное выражение на и приведем его к виду, аналогичному (9):

. (10)

Отсюда видно, что шарик будет совершать гармонические колебания относительно положения равновесия в том случае, когда . Т.е. условием гармонических колебаний в данной работе будут малые углы отклонения шарика от положения равновесия.

В этом случае угол j изменяется по гармоническому закону , где

. (11)

Используя выражения (4), (7) и (8), можно вычислить значения скорости и ускорения шарика в любой момент времени. Чтобы найти зависимость радиуса кривизны R сферической поверхности от периода T, которую находим из формулы (11), подставим в нее :

. (12)

При вычислении мы не учитывали, что механическая энергия шарика уменьшается за счет работы диссипативной силы трения и потому в действительности колебания шарика будут затухающими. Затуханием колебаний в работе пренебрегаем.

 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...