Главная Обратная связь

Дисциплины:






Галилео Галилей, т. I. если бы Земля вращалась вокруг самой себя, то движение поверхности, в особенности близ наибольшего круга



 

если бы Земля вращалась вокруг самой себя, то движение поверхности, в особенности близ наибольшего круга, как несравненно более быстрое, чем другие названные, должно было бы отбросить всякий предмет к небу.

Симпличио. Возражение кажется мне прекрасно обоснованным и увязанным, и много старания потребуется, по моему мнению, чтобы его опровергнуть или развязать.

Сальвиати. Опровержение его зависит от некоторых вещей, известных вам не менее, чем мне, и разделяемых нами обоими, но так как вы их забыли, то не находите и опровержения* Я не буду учить вас им (так как вы их уже знаете) и путем простого напоминания добьюсь того, что вы сами опровергнете возражение.

Симпличио. Я много раз присматривался к вашему способу рассуждать, который внушил мне мысль, что вы склоняетесь ? к мнению Платона, будто nostrum scieri sit quoddam reminisci; ' прошу вас поэтому, разрешите это мое сомнение, изложив вашу точку зрения.

Сальвиати. То, что я думаю о мнении Платона, я могу подтвердить и словами, и фактами. При рассуждениях, имевших место до сих пор, я не раз прибегал к объяснению при помощи0 фактов; буду придерживаться того же способа и в данном частном случае, который затем может служить вам примером для лучшего уяснения моего понимания приобретения знания, о чем мы поговорим в другой день, если у нас останется время и если мы не наскучим таким отступлением синьору Сагредо.

Сагредо. Наоборот, мне это будет только очень приятно, ибо я помню, что, изучая в свое время логику, я никак не мог постигнуть этого столь прославленного сильнейшего доказательства Аристотеля.

Сальвиати. Итак, продолжаем. Пусть скажет мне синьор Симпличио, какое движение совершает камешек в расщепе трости, когда мальчик взмахивает ею, чтобы метнуть камень?

Симпличио. Движение камня, пока он в расщепе, круговое, т. е. идет по дуге круга, у которого неподвижным центром является сочленение плеча, а полудиаметром трость с рукой.

Сальвиати. А когда камень вылетает из расщепа, каково его движение? Продолжает ли он свое предшествующее круговое движение или идет по другой линии?

Симпличио, Он уже более не двигается по кругу, так как тогда он не удалялся бы от плеча бросающего, а мы видим, что он улетает очень далеко.

Сальвиати. Так каким же движением он движется?

 

Симпличио. Дайте мне немного подумать, так как я никогда не размышлял об этом.

Сальвиати. Между нами, синьор Сагредо, вот оно quod-dam reminisci, правильно понимаемое, перед нами налицо. Вы что-то призадумались, синьор Симпличио!

С и м п л и ч и о. По-моему, движение камня, начавшееся при выходе из расщепа пращи, может совершаться только по прямой линии, и совершенно необходимо по прямой, как вызванное чистым привходящим импульсом. Меня несколько смущает описываемая им на моих глазах дуга, но так как такая дуга всегда загибается вниз, а не в другом каком-либо направлении, я понимаю, что это отклонение происходит от тяжести камня, который естественно тянет его книзу. Сообщенный импульс, говорю без колебания, действует по прямой линии.



Сальвиати. Но по какой прямой линии? Ибо бесконечное множество прямых можно провести во все стороны от конца трости и точки отрыва камня от пращи.

Симпличио. По той прямой, которая является продолжением движения, проделанного камнем в праще.

Сальвиати. Движение камня, пока он в расщепе, вы уже определили как круговое, но ведь движение по кругу и движение по прямой несовместимы, поскольку в круговой линии нет никакой части прямой.

Симпличио. Я имею в виду то, что движение брошенного тела будет продолжением не всего движения по кругу, а лишь движения в последней точке, где кончится круговое движение. Внутренне я понимаю это, но не умею как следует объяснить.

Сальвиати. Я также замечаю, что вы понимаете предмет, но не имеете подходящих терминов для выражения; этому я вас вполне могу научить, т. е. научить вас словам, но не истинам самим по себе. Чтобы заставить вас убедиться, что вы знаете предмет и что вам недостает только слов для выражения мысли, спрошу вас: когда вы стреляете пулей из аркебуза, в каком направлении к движению приобретает она импульс?

Симпличио. Она приобретает импульс к движению по той прямой линии, которая продолжает прямую линию ствола, т. е. которая не уклоняется ни вправо, ни влево, ни вверх, ни вниз.

Сальвиати. В итоге это равносильно тому, что она не образует никакого угла с линией прямого движения, совершаемого в стволе.

Симпличио. Это я и хотел сказать.

19 *-

 

Сальвиати. Значит, если линия движения брошенного тела должна продолжаться, не образуя угла с круговой линией, описанной ранее, пока тело было связано с бросающим, и если от этого кругового движения оно должно перейти к прямому движению, то какой же должна быть эта прямая линия?

Симпличио. Она не может быть иной, кроме той, которая касается круга в точке отрыва, ибо все другие, думается мне, при продолжении пересекут окружность и потому образуют с ней какой-нибудь угол.

Сальвиати. Вы отлично рассуждаете и доказали, что вы — наполовину геометр. Итак, запомните, что ваше правильное представление выражается таким словами: брошенное тело приобретает импульс к движению по касательной к дуге, описанной движением бросающего, в точке отрыва брошенного тела от бросающего.

Симпличио. Прекрасно понимаю; именно это я и хотел сказать.

Сальвиати. У прямой линии, касающейся круга, какая из точек ближе всего к центру круга?

Симпличио. Без сомнения, точка касания, потому что-она находится на окружности круга, а все другие — вне его, а точки окружности все одинаково удалены от центра.

Сальвиати. Следовательно, движущееся тело, уходя от точки касания и двигаясь по касательной прямой, непрерывно удаляется от точки касания и вместе с тем от центра круга.

Симпличио. Бесспорно, это так.

Сальвиати. Теперь, если вы удержали в памяти положения, которые вы мне высказали, соедините их вместе и скажите, что из этого получится?

Симпличио. Не думаю, чтобы я был настолько забывчив и не мог их вспомнить. Из сказанного вытекает, что брошенное тело, быстро вращаемое бросающим, при отрыве от него сохраняет импульс к продолжению своего движения по прямой линии, которая является касательной к кругу, описанному движением бросающего, в точке отрыва, и этим движением брошенное тело постоянно удаляется от центра круга, описанного движением бросающего.

Сальвиати. Значит, теперь вы понимаете, почему тяжелые тела, прикрепленные к поверхности быстро движущегося колеса, оказываются отторгнутыми и отброшенными за пределы окружности прочь от центра.

Симпличио. Мне кажется, что я это достаточно усвоил,

 

но такое познание скорее увеличивает, чем уменьшает во мне недоверие к тому, что Земля может вращаться с такой быстротой, не отбрасывая к небу камней, животных и т. д.

Са львиати. Тем же путем, каким вы это себе усвоилит вы узнаете и остальное; вернее, вы знаете это уже теперь; поразмыслив, вы сами самостоятельно все припомните, но для сокращения времени я помогу вам припомнить. До сих пор вы сами самостоятельно постигли, что круговое движение бросающего оставляет в бросаемом теле (в момент, когда они разлучаются) импульс движения по прямой, касательной к кругу движения в точке отрыва, и стремление продолжать по ней движение, постоянно удаляясь от бросившего; и вы сказали, что по такой прямой линии брошенное тело продолжало бы двигаться, если бы его собственная тяжесть не прибавляла склонения вниз, вследствие чего получается изгиб линии движения. Как мне кажется, еще вы сами заметили, что этот изгиб всегда направлен к центру Земли, ибо туда направляются все тяжелые тела. Теперь я иду немного далее и спрашиваю вас: идет ли движущееся тело, продолжающее свое движение после отрыва, все время равномерно удаляясь от центра или, если угодно, от окружности круга, частью которого было предшествующее движение, или, что то же самое, удаляется ли движущееся тело, выходя из точки касания и двигаясь по этой касательной, равномерно от точки касания и от окружности круга?

Симпличио. Нет, синьор, потому что касательная вблизи точки касания отходит совсем ничтожно от окружности, с которой она образует незначительнейший угол; но при удалении все большем и большем расстояние от окружности возрастает все в большей пропорции, так что в круге, имеющем, например, десять локтей в диаметре, точка касательной, удаленная от точки касания на две пяди, окажется удаленной от окружности круга в три или четыре раза более, чем точка, отстоящая от точки соприкосновения на одну пядь, и точка, удаленная на полпяди, равным образом, думаю, едва ли удалится на четверть расстояния второй; вблизи же точки касания на расстоянии одного или двух дюймов от нее едва заметно, что касательная отделяется от окружности.

Сальвиати. Так что удаление брошенного тела от окружности предшествующего кругового движения вначале совсем ничтожно?

Симпличио. Почти неощутимо.

Сальвиати. Скажите мне теперь, пожалуйста, брошенное тело, которое от двияшния бросающего получает импульс движения по касательной прямой и которое пошло бы так и дальше,

 

если бы собственный вес не тянул его вниз, с какого момента после отрыва начнет склоняться вниз?

Симпличио. Думаю, что начнет склоняться сразу, потому что за отсутствием поддержки собственная тяжесть не может не оказывать действия.

С а л ь в и а т и. Таким образом, если бы камень, отброшенный вращающимся с огромной скоростью колесом, имел такую же естественную склонность двигаться к центру этого колеса, с какой он движется к центру Земли, то ему нетрудно было бы вернуться к колесу, или, скорее, вовсе не удаляться от него, ибо, раз в начале отрыва удаление столь ничтожно из-за бесконечной остроты угла касания, малейшего уклонения по направлению к центру колеса было бы достаточно, чтобы удержать его на окружности 19.

Симпличио. Я ничуть не сомневаюсь, что если принять существование того, чего нет и быть не может, а именно, если принять склонность тяжелых тел стремиться к центру колеса, то они не оказались бы отторгнутыми и отброшенными.

Сальвиати. Я не принимаю этого и не имею необходимости принимать то, чего нет, ибо я не собираюсь отрицать, что камни будут отброшены. Но я говорю предположительно для того, чтобы вы досказали мне остальное. Вообразите себе теперь, что Земля — это большое колесо, которое движется с огромной скоростью и должно отбрасывать камни. Вы уже отлично сумели мне сказать, что движение брошенного тела должно будет происходить по той прямой линии, которая касается земли в точке отрыва; как идет эта касательная? Заметно ли удаляется она от поверхности земного шара?

Симпличио. Думаю, что за тысячу локтей она не удалится и на один дюйм.

Сальвиати. А не говорили ли вы, что брошенное тело, увлекаемое собственной тяжестью, отклоняется от касательной к центру Земли?

Симпличио. Говорил и теперь доскажу остальное. Я прекрасно понимаю, что камень не отделится от земли, так как его удаление вначале было бы столь ничтожно, что во много тысяч раз большим оказалось бы стремление камня двигаться к центру Земли, а этот центр в данном случае тот же, что центр у колеса. И действительно, необходимо приходится допустить, что камни, животные и другие тяжелые тела не могут быть отброшены, но новое затруднение создают теперь для меня самые легкие тела, у которых стремление опускаться к центру крайне слабо; так как

 

у них отсутствует способность удерживаться на поверхности, то я не вижу, почему бы им не оказаться отброшенными, а вы ведь знаете, что ad destruendum sufficit nnum.

Сальвиати. Дадим и этому удовлетворительное объяснение. Скаиште мне сначала, что понимаете вы под легкими вещами, т. е. подразумеваете ли вы вещества, действительно столь легкие, что они идут вверх, или же легкие не абсолютно, но столь мало тяжелые, что они идут вниз, хотя и медленно, ибо если вы имеете в виду тела абсолютно легкие, то я вам уступлю, и пусть они будут отброшены еще дальше, чем вам бы хотелось.

Симпличио. Я имею в виду второе, например пух, шерсть, вату и тому подобное; достаточно малейшей силы, чтобы их поднять, и, однако, мы видим, что они совершенно спокойно лежат на Земле.

Сальвиати. Как бы мала ни была естественная склонность пуха опускаться па поверхность земли, я утверждаю, что ее достаточно, чтобы не дать ему подняться, а это и вам не безызвестно; потому скажите мне, если бы пух был отброшен вращением Земли, то по какой линии он двигался бы?

Симпличио. По касательной в точке отрыва.

Сальвиати. И если бы он должен был повернуть для того, чтобы воссоединиться, то по какой линии он двигался бы?

Симпличио. По той, которая идет от него к центру Земли.

Сальвиати. Таким образом, здесь принимаются в расчет два движения: одно от бросания, начинающееся в точке касания и продолжающееся по касательной, и другое, обусловленное стремлением вниз, начинающееся в брошенном теле и идущее по секущей к центру; и для того, чтобы движение от бросания продолжалось, необходимо, чтобы импульс по касательной преобладал над стремлением по секущей, не так ли?

Симпличио. Мне кажется, что так.

Сальвиати. Но что, по-вашему, необходимо должно содержаться в движении от бросания, дабы последнее преобладало над движением склонения и вызвало отрыв и удаление от земли?

Симпличио. Этого я не знаю.

Сальвиати. Как не знаете? Движущееся тело здесь одно и то же, а именно — тот же пух; так вот, как может то же самое движущееся тело одолевать в движении и превосходить самого себя? ао.

Симпличио. Я не понимаю, как оно может превосходить или уступать самому себе в движении, иначе как двигаясь или быстрее или медленнее.

 

Сальвиати. Значит, вы это и ранее знали. Итак, если должно иметь место движение пуха от бросания и его движение по касательной должно преобладать над движением по секущей, то какими должны быть их скорости?

Симпличио. Необходимо, чтобы движение по касательной было быстрее движения по секущей. О, я несчастный! Не превышает ли оно в сто тысяч раз движение вниз не только пуха, но и движения камня? А я, поистине, как простак, дал убедить себя, будто камни не могут быть отброшены вращением Земли! Отрекаюсь от этого и заявляю, что если бы Земля двигалась, то камни, слоны, башни и города неизбежно полетели бы к небу, а раз это не так, я утверждаю, что Земля не движется.

Сальвиати. О, синьор Симпличио, вы так легко возбуждаетесь, что я начинаю больше бояться за вас, чем за пух. Успокойтесь немного и выслушайте. Если для удержания камня или пуха на поверхности земли необходимо, чтобы падение их вниз превышало или хотя бы равнялось движению по касательной, то вы имели бы основание говорить, что движение по секущей вниз должно быть столь же или еще более быстрым, чем движение по касательной к востоку; но не сказали ли вы мне недавно, что тысяча локтей расстояния по касательной от точки касания отдаляют едва ли на один дюйм от окружности? Недостаточно, значит чтобы движение по касательной, т. е. движение от суточного обращения, было просто более быстрым, нежели движение по секущей, т. е. движение пуха вниз; ему необходимо быть настолько более быстрым, чтобы времени, достаточного для удаления пуха, скажем, на тысячу локтей по касательной, было недостаточно для продвижения на один лишь дюйм вниз по секущей, а этого, уверяю вас, никогда не будет, каким бы быстрым ни делали вы первое движение и медленным второе.

Симпличио. А почему движение по касательной не могло бы быть настолько быстрым, чтобы не давать пуху времени достигнуть поверхности земли?

Сальвиати. Попробуйте дать этому вопросу точную формулировку, и я вам отвечу. Скажите, насколько более быстрым достаточно, по-вашему, сделать первое движение по сравнению со вторым?

Симпличио. Скажу для примера, что если бы оно было в миллион раз быстрее, то пух и даже камень оказались бы отброшенными.

Сальвиати. Вы так говорите и говорите ложь единственно по незнанию не логики, или физики, или метафизики, но лишь

 

геометрии, потому что, если бы вы были знакомы даже только с основными ее элементами, то вы знали бы, что от центра круга можно провести прямую линию до касательной, которая пересечет ее так, что часть касательной между точкой касания и секущей будет в миллион, в два и три миллиона раз больше той части секущей, которая находится между касательной и окружностью; и по мере того, как секущая будет приближаться к точке касания, это отношение будет увеличиваться до бесконечности; поэтому, как бы быстро ни было вращение и как бы медленно ни было движение вниз, нечего опасаться, что пух или другое легкое тело может начать подниматься, ибо всегда склонение книзу превысит быстроту бросания.

Сагредо. Я не совсем понимаю такое рассуждение.

Сальвиати. Я приведу вам доказательство, совершенно общее и к тому же довольно легкое. Пусть будет дано отношение В А к С ж пусть В А будет во сколько угодно раз больше С. Пусть дан круг, центром которого является D, откуда надо провести секущую так, чтобы касательная относилась к этой секущей, как ВА к С. Найдем третью пропорциональную AI двух линий АВ и С, и пусть, как BI и IA, так же относятся друг к другу и диаметр FE и отрезок EG; из точки G проведем далее касательную GH. Утверждаю, что сделано все, что требовалось и что как ВА относится к С, так будет относиться и HG к GE. В самом деле, так как FE относится к EG, как BI к IA, то и FG относится к GE как В А к AI. Но С есть средняя пропорциональная между В А и AI, a GH — средняя пропорциональная между FG и GE\ поэтому как ВА относится к С, так будет относиться и FG к GH или HG к GE, что и требовалось доказать.

Сагредо. Я понимаю это доказательство; тем не менее не все сомнения для меня окончательно устранены; наоборот, я чувствую, как у меня в голове поднимается некое смущение, которое, подобно густой и темной туче, не дает мне видеть необходимость вывода с той ясностью, которая обычно свойственна математическим рассуждениям. То, что меня смущает, заключается в следующем. Действительно, промежутки между касательной и окружностью убывают до бесконечности по направлению к точке касания, но, с другой стороны, верно и то, что склонность движущегося тела опускаться делается все меньше, чем ближе оно

 

оказывается к исходной точке своего падения, т. е. к состоянию покоя, как то ясно из того, что вы нам ранее сказали, показав, что опускающееся тело, выходя из состояния покоя, должно пройти все степени медленности, промежуточные между покоем и любой взятой степенью скорости, которые становятся все меньше и меньше до бесконечности. К этому присоединяется то, что скорость эта и склонность к движению убывают также до бесконечности по другой причине; последнее происходит от возможности уменьшать до бесконечности тяжесть движущегося тела; таким образом, причин, уменьшающих склонность тела опускаться и, следовательно, благоприятствующих движению отбрасывания, две, а именно: легкость движущегося тела и близость к точке покоя, и обе они способны возрастать до бесконечности; с другой стороны, в качестве противоположности они имеют одну-единственную причину, препятствующую двин-сению отбрасывания; хотя она и способна равным образом увеличиваться до бесконечности, но мне непонятно, как она одна может оказаться не побежденной соединенным действием двух других, которые равным образом способны возрастать до бесконечности.

Сальвиати. Сомнение, достойное синьора Сагредо; что-бы разъяснить его и сделать более легким для нашего понимания, раз вы говорите, что оно представляется вам смутно, мы рассмотрим его подробно, прибегнув к помощи чертежа, который должен облегчить нам решение задачи я1. Итак, начертим отвесную линию, направленную к центру; пусть это будет линия АС. Под прямым углом ней проведем горизонтальную линию АВ, по которой должно происходить движение бросания и по которой брошенное тело продолжало бы двигаться равномерным движением, если бы тяжесть не отклоняла его книзу.

Проведем, далее, из точки А прямую линию, образующую с А В произвольный угол; пусть это будет линия АЕ. Отметим

на АВ несколько равных отрезков AF, FH и НК и проведем отвесные линии FG, HI и KL до пересечения с АЕ. Как было сказано в другом месте, падающее тяжелое тело, выходя из состояния покоя, приобретает по мере течения времени все большую степень скорости, и мы можем вообразить себе, что промежутки AF, FH и НК представляют нам равные промежутки времени, а отвесные линии FG, HI и KL — степени скорости, приобретенные за эти промежутки, так что степень скорости, приобретенная за вс

 

время АК, будет линия KL, соответствующая степени HI, приобретенной за время АН, и степени FG — за время AF. Эти степени KL, HI и FG находятся (как это очевидно) в том же отношении, что и времена К А, НА и FA 22, и если будут проведены другие отвесные линии из точек, произвольно взятых на линии FA, то по мере продвижения к точке А, представляющей первое мгновение времени и первоначальное состояние покоя, будут находиться все меньшие и до бесконечности меньшие степени. И это продви-я^ение к А представляет нам первоначальную склонность движения вниз, уменьшающуюся до бесконечности по мере приближения движущегося тела к первоначальному состоянию покоя — приближения, способного возрастать до бесконечности. Найдем теперь другое уменьшение скорости, которое равным образом может продолжаться до бесконечности от уменьшения тяжести движущегося тела23; оно представится путем проведения других линий от точки А, образующих углы, меньшие, чем угол ВАЕ, например линии AD, которая, пересекая параллели KL, HI и FG в точках М, N и О, изображает степени FO, HN и КМ, приобретенные за времена AF, АН и АК и меньшие других степеней FG, HI и KL, приобретенных за те же времена, но те — от более тяжелого движущегося тела, а эти — от более легкого. И очевидно, что при приближении линии ЕА к А В путем уменьшения угла ЕАВ (что может продолжаться до бесконечности, как до бесконечности может быть уменьшаема и тяжесть) и скорость падающего тела окажется равным образом уменьшающейся до бесконечности, а следовательно, и причина, мешавшая движению бросания; таким образом окажется, что соединение этих двух одновременно уменьшающихся до бесконечности причин, противодействующих движению отбрасывания, не может задержать последнего. Сводя все доказательства к немногим словам, скажем: с уменьшением угла ЕАВ уменьшаются степени скорости LK, JH и GF, и, сверх того, при приближении параллелей KL, IH и FG к вершине угла А те же степени также уменьшаются, причем то и другое уменьшение простирается до бесконечности, следовательно, скорость движения вниз вполне может уменьшиться настолько (будучи способна убывать до бесконечности двояким образом), что ее будет недостаточно для того, чтобы возвратить движущееся тело на окружность колеса и, следовательно, сделать так, чтобы движение бросания оказалось задержанным и устраненным. Обратно, для того чтобы движение отбрасывания не воспоследовало, необходимо, чтобы отрезки пространства, по которым брошенное тело должно опускаться для соединения с

 

колесом, сделались столь короткими и ничтожными, что, сколь бы медленно, даже замедленно до бесконечности, ни было опускание движущегося тела, оно все же было бы достаточно для того, чтобы возвратить тело. Поэтому нужно, чтобы нашлось такое уменьшение этих отрезков, которое не только совершалось бы до бесконечности, но до такой бесконечности, которая превосходила бы двойную бесконечность уменьшения скорости падающего вниз тела и. Но как может одна величина уменьшаться более другой, которая уменьшается до бесконечности вдвойне? Итак, пусть заметит синьор Симпличио, как хорошо можно философствовать о природе без геометрии. Степени скорости, уменьшающиеся до бесконечности как от уменьшения тяжести движущегося тела, так и от приближения к исходной точке движения, т. е. к состоянию покоя, всегда определяются отношением параллелей, заключенных между двумя прямыми линиями, образующими угол, соответствующий углу ВАЕ или BAD или иному все более острому до бесконечности, но всегда прямолинейному. А уменьшение отрезков пространства, по которому движущееся тело должно вернуться на окружность колеса, пропорционально сокращению другого рода, ограниченному линиями, образующими бесконечно, более узкий и острый угол, чем любой угол прямолинейный, каким является первый. Возьмем на отвесной линии АС произвольную точку С и, сделав ее центром, опишем расстоянием С А дугу AMP, которая пересечет параллели, определяющие степени скорости, как бы малы они ни были и в каком бы самом остром образуемом прямыми линиями угле они ни заключались; у этих параллелей части, находящиеся между дугой и касательной АВ, выразят величину отрезков пространства, которое надо пройти для возвращения на колесо, все меньших и меньших во все большей пропорции, по мере приближения к точке касания,— меньших, говорю я, чем те параллели, частями которых они являются. Параллели, заключенные между прямыми линиями, по мере приближения к углу уменьшаются все в той же пропорции; так, например, если АН разделена пополам в точке F, то параллель HI будет вдвое больше FG\ при делении FA вновь пополам параллель, проведенная из точки деления, будет половиной FG, и при продолжении деления до бесконечности последующие параллели всегда будут половиной непосредственно предшествующих. Но не то будет с линиями, заключенными между касательной и окружностью круга, ибо если сделать то же деление FА и предположить, например, что параллель, идущая из точки Н до окружности, вдвое больше той, которая идет из точки F, то эта пос

 

ледняя будет длиннее следующей больше, чем вдвое, и по мере того, как мы будем идти к точке касания А, мы будем находить, что предшествующие линии будут содержать непосредственно следующие линии, три раза, четыре, десять, сто, тысячу, сто тысяч, сто миллионов и т. д. до бесконечности. Следовательно, эти линии сокращаются в такой степени, которая более чем достаточна для того, чтобы брошенное тело, как бы легко оно ни было, вернулось или держалось на окружности.

Сагредо. Я прекрасно понимаю все рассуждение и силу его убедительности, но тем не менее мне кажется, что если бы кто-нибудь захотел поколебать его, он мог бы выдвинуть кое-какие возражения, говоря, что из двух причин, делающих движение тела вниз все более и более медленным до бесконечности, только та, которая зависит от близости к исходной точке падения, постоянно возрастает все в той же пропорции соответственно тому, как и параллели сохраняют между собой то же соотношение и так далее, но то, что уменьшение той же скорости, зависящее от уменьшения тяжести движущегося тела (а это является второй причиной), происходит в той же пропорции, не представляется столь очевидным. Кто нас убедит, что оно не совершается пропорционально длине линий, заключенных между касательной и окружностью, или в отношении еще большем?

Сальвиати. Я принял за достоверное, что скорости тел, естественно движущихся книзу, пропорциональны отношению их веса, в угоду синьору Симпличио и Аристотелю, который во многих местах утверждает это как положение очевидное; вы к выгоде противника ставите это под сомнение и предполагаете, что скорость, быть может, возрастает в пропорции, большей и даже до бесконечности большей, по сравнению с тяжестью, от чего все предыдущее рассуждение рассыпается прахом; чтобы его подкрепить, мне остается утверждать, что отношение между скоростями гораздо меньше отношения между весами, и тем не только восстановить, но и укрепить то, что было сказано. В доказательство я приведу опыт, который покажет нам, что одно тело, в тридцать или сорок раз более тяжелое, чем другое, например пуля из свинца, не будет двигаться даже при помощи мощного орудия быстрее, чем вдвое, по сравнению с пулей из пробки. Итак, если движения от бросания не происходит даже тогда, когда скорость падения уменьшается пропорционально весу, то тем менее оно будет иметь место в том случае, если скорость уменьшается значительно менее уменьшения веса. Но даже если предположить, что скорость уменьшается в пропорции-, значительно превосходящей ту, с

 

которой убывает тяжесть,пусть даже она убывает пропорционально упомянутым параллельным линиям между касательной и окружностью, я все же не вижу никакой необходимости в том, чтобы прийти к заключению, будто от этого должно будет произойти отбрасывание тел, хотя бы из самой легкой материи; напротив, я утверждаю, что такого отбрасывания не произойдет, всегда имея в виду, что речь идет не о материях легчайших, т. е. лишенных всякой тяжести и по природе своей идущих вверх, но о таких, которые опускаются, хотя и очень медленно, и имеют хотя бы и самую незначительную тяжесть. Думать так побуждает меня то обстоятельство, что уменьшение тяжести, совершающееся пропорционально параллелям между касательной и окружностью, имеет последним и крайним пределом нуль тяжести, как и параллели последним пределом своего уменьшения имеют самое касание, т. е. неделимую точку. Но тяжесть никогда не уменьшается до самого последнего предела, потому что в таком случае движущееся тело не было бы тяжелым; в то же время путь возвращения брошенного тела к окружности сокращается до самых малых размеров; это бывает тогда, когда движущееся тело находится на окружности в точке касания, так что, для того чтобы вернуться, ему нет надобности проходить какое бы то ни было расстояние; поэтому, как бы мала ни была склонность к движению вниз, все же она всегда будет более чем достаточна для того, чтобы вернуть движущееся тело на окружность, от которой оно отстоит на предельно малое расстояние, т. е. никакое.

Сагредо. Поистине, рассуждение весьма тонкое и в такой же мере убедительное; надо признаться, что попытка трактовать естественные проблемы без геометрии есть попытка сделать невозможное.

Сальвиати. Синьор Симпличио, однако, этого не скажет, хотя я не думаю, чтобы он был из числа тех перипатетиков, которые отговаривают своих учеников изучать математику, как нечто такое, что вредит рассудку и делает его менее способным к созерцанию.

Симпличио. Я не сделал бы такого упрека Платону, хотя и сказал бы вместе с Аристотелем, что он слишком погружается в свою любимую геометрию и слишком увлекается ею. Ведь в конце концов эти математические тонкости, синьор Сальвиати, истинно абстрактны, в приложении же к чувственной и физической материи они не оправдываются. Так, например, пусть математики доказывают на основании своих принципов, что sphaera tangit planum in puncto — положение, подобное нашему,

 

но, как только дело дойдет до материи, все происходит иначе; то же самое хочется мне сказать об этих углах касания и пропорциях; они все ни к чему, когда дело доходит до вещей материальных и чувственных.

Сальвиати. Так, значит, вы вовсе не думаете, что касательная соприкасается с поверхностью земного шара в одной точке?

Симпличио. Не только в одной, но думаю, что на много и много десятков, а может быть, и сотен локтей идет прямая линия, касаясь поверхности воды, а не то что земли, прежде чем от нее отделиться.

Сальвиати. А если я в этом с вами соглашусь, то не замечаете ли вы, что это тем хуже для вас? Ведь если в предположении, что касательная отделяется от земной поверхности за пределами одной только точки, было все же доказано, что из-за большой остроты угла касания (если только он может назваться углом) брошенное тело не отделится, то сколь менее будет оно иметь причину отделиться, если угол совершенно сомкнётся, а поверхность и касательная пойдут вместе? Не видите ли вы, что, таким образом, движение бросания пошло бы по самой земной поверхности, а это равносильно тому, что его вообще не было бы?

Итак, вы видите, какова сила истины: в то время как вы пытаетесь ее опровергнуть, самые ваши нападения возвышают ее и придают ей большую ценность. Но раз я уже освободил вас от этого заблуждения, мне не хотелось бы оставлять вас при другом, а именно, будто материальная сфера касается плоскости не в одной только точке; и мне хотелось бы, чтобы беседа, хотя бы недолгая, с лицами, имеющими некоторые познания в геометрии, заставила вас оказаться немного более сведущим среди тех, кто ничего в ней не смыслит. Так вот, чтобы показать вам, сколь велика будет ошибка говорящих, будто, например, бронзовая сфера касается плоскости, скажем, стальной, не в одной лишь точке, прошу вас сказать мне, какое представление составите вы себе о том, кто скажет и будет настойчиво утверждать, что сфера на самом деле не сфера?

Симпличио. Я счел бы его за лишенного рассудка.

Сальвиати. В таком же точно положении находится и тот, кто говорит, что материальная сфера касается материальной же плоскости не в одной точке, ибо сказать это — все равно, что сказать, что сфера не есть сфера. И чтобы в этом убедиться, скажите мне, в чем полагаете вы сущность сферы, т. е. что именно отличает сферу от всех других твердых тел?

 

Симпличио. Думаю, что сущность сферы заключается в равенстве всех прямых линий, проведенных из ее центра к окружности.

Сальвиати. Так что, если бы такие линии не были равными, то такое твердое тело вовсе не было бы сферой?

Симпличио. Нет, синьор.

Сальвиати. Скажите мне далее, думаете ли вы, что из многих линий, которые могут быть проведены между двумя точками, только одна может быть прямой?

Симпличио. Конечно, синьор.

Сальвиати. Но вы понимаете, что эта единственная прямая будет, кроме того, по необходимости кратчайшей из них?

Симпличио. Понимаю и, кроме того, имею ясное доказательство этого, данное одним великим философом-перипатетиком; и, кажется, если память мне не изменяет, он приводит его в упрек Архимеду, который полагает эту истину очевидной, имея возможность ее доказать.

Сальвиати. Великим математиком будет тот, кто докажет то, чего не сумел и не смог доказать Архимед; и если вы помните доказательство, я охотно прослушал бы его, ибо отлично помню, что Архимед в книге «О сфере и цилиндре» относит это положение к постулатам и твердо считает, что оно недоказуемо.

Симпличио. Думаю, что вспомню, потому что оно довольно ясное и короткое.

Сальвиати. Тем больше будет посрамление Архимеда и слава вашего философа.

Симпличио. Я приведу его чертеж. Между точками А и В проведены прямая АВ и кривая АСВ, относительно коих

требуется доказать, что прямая короче; доказательство таково: на кривой берется точка, скажем С, и от нее проводятся две другие прямые АС и СВ, каковые вместе будут длиннее одной АВ, как это доказал Евклид; но кривая АСВ больше двух прямых АС и СВ, следовательно, a fortiori кривая АСВ будет и подавно большей, чем прямая АВ, что и требовалось доказать.

Сальвиати. Я думаю, что, перебрав все параллогизмы в мире, нельзя найти более пригодного, чем этот, для-иллюстра-ции самой блистательной ошибки из всех могущих быть ошибок, т. е. доказательства ignotum per ignotius.

Симпличио. Каким образом?

 

Сальвиати. Как каким образом? Разве неизвестное положение, которое вы хотите доказать, не состоит в том, что кривая АСВ длиннее прямой АВ? А средний член, принимаемый в качестве известного, не тот ли, что кривая АСВ будет больше, чем АС и СВ вместе, которые, как известно, больше АВУ Но, если вам неизвестно, что кривая больше одной прямой АВ, разве не будет еще гораздо менее известным, что она больше двух прямых АС и СВ, которые больше одной АВ?А вы принимаете это за известное.

Симпличио, Я еще не совсем понимаю, в чем заключается ошибка.

Сальвиати. Если две прямые будут больше АВ (что известно из Евклида), то всякий раз, как кривая будет больше обеих прямых АС и СВ, не будет ли она и подавно длиннее одной прямой А В?

Симпличио. Да, синьор.

Сальвиати. Что кривая АСВ больше прямой АВ,— положение, более известное, нежели средний член, а именно, что та же кривая больше двух прямых АС и СВ, а когда средний член менее известен, чем заключение, это и называется доказательством ignotum perignotius. Но вернемся к нашему положению: с меня достаточно вашего понимания, что прямая есть кратчайшая из всех линий, могущих быть проведенными между двумя точками. Что касается главного положения, то вы утверждаете, что материальная сфера касается плоскости не в одной единственной точке. Каково же будет ее касание?

Симпличио. Оно будет частью ее поверхности.

Сальвиати. Таким же образом место касания и другой сферы, равной первой, будет подобной же частицей ее поверхности?

Симпличио. Нет оснований, чтобы было иначе.

Сальвиати. Значит, и обе сферы при соприкосновении будут соприкасаться двумя одинаковыми частицами поверхности, потому что, если каждая из них порознь прилегает так к одной и той же плоскости, то необходимо, чтобы они прилегали и друг к другу. Итак, представьте себе две соприкасающиеся сферы с центрами А и В; соединим их центры прямой линией АВ, которая пройдет через место соприкосновения. Пусть она проходит через точку





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...