Главная Обратная связь

Дисциплины:






приведения уравнения II порядка к каноническому виду.



Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой

Так, например, невырожденная кривая оказывается вещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:

или

Корни этого уравнения являются собственными значениями вещественной симметричной матрицы

и, как следствие этого, всегда вещественны.

Канонический вид

Вводом новой системы координат можно привести уравнения кривых второго порядка к стандартному каноническому виду (см. таблицу). Параметры канонических уравнений весьма просто выражаются через инварианты и корни характеристического уравнения (см. выше раздел «Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение»).

Вид кривой Каноническое уравнение Инварианты
Невырожденные кривые ( )
окружность (x-a)2+(y-b)2=R2 каноническое уравнение окружности с центром в С (a,b) и радиусом R Если центр окружности в начале координат, то x2+ y2=R2  
Эллипс если неравно 0 то -1
Гипербола
Парабола

Каноническое уравнение любой невырожденной кривой второго порядка при помощи подходящего преобразования начала координат может быть приведено к виду

В этом случае кривая проходит через начало новой системы координат, а ось Ox является осью симметрии кривой. Данное уравнение выражает тот факт, чтоневырожденная кривая второго порядка является геометрическим местом точек, отношение расстояний которых (эксцентриситет) от данной точки(фокуса) и от данной прямой (директрисы) постоянно. Кроме того, при кривая является окружностью, при — эллипсом, при — параболой, при — гиперболой.

Уравнение директрисы кривой выражается уравнением а координаты фокуса Директриса перпендикулярна оси симметрии, проходящей через фокус и вершину кривой (фокальная ось). Расстояние между фокусом и директрисой равно

Если кривая второго порядка центральная (эллипс или гипербола), то прямая

является осью симметрии и, следовательно, кривая имеет два фокуса и две директрисы.

Параметр называется фокальным параметром и равен половине длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной к фокальной оси (фокальная хорда).



 

Эллипс с фокусами

 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...