Главная Обратная связь

Дисциплины:






Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.



 

Возьмем в пространстве XYZ некоторую плоскость π. Проведем через начало координат прямую n, перпендикулярную к плоскости π. Назовем эту прямую нормалью и отметим буквой Р точку пересечения нормали с плоскостью П. На нормали введем положительное направление от начала координат О к точке Р. Если точка Р совпадает с О, т.е. данная плоскость проходит через начало координат, то положительное направление нормали выберем произвольно. Обозначим

 

через a, b, g углы, которые составляет направленная нормаль с осями координат, через р - длину отрезка ОР.

 

 

 
 


 

Мы выведем уравнение данной плоскости П, считая известными числа cos a, cos b, cos g и р. С этой целью возьмем на плоскости П произвольную точку М и обозначим через x, y, z ее координаты. Очевидно, проекция вектора на нормаль равна ОР, а так как положительное направление отрезка , то величина этого отрезка выражается положительным числом р:

 

= р (1)

 

Заметим, что ={x; y; z}, отсюда =xcosa + ycosb + zcosg. (2)

 

Из равенств (1) и (2) следует, что x cosa + ycosb + zcosg = р или x cosa + ycosb + zcosg - р=0 . (3)

 

Это уравнение плоскости, оно носит специальное название: нормальное уравнение плоскости; в этом уравнении cosa, cosb, cosg суть направляющие косинусы нормали, р - расстояние плоскости от начала координат.

 

Пусть как и ранее n нормаль к произвольной плоскости π, М*- произвольная точка пространства, d- ее расстояние от данной плоскости (см. рис. 1).

 

Условимся называть отклонением точки М* от данной плоскости число +d, если М* лежит по ту сторону от плоскости, куда идет положительное направление нормали, -d, если М* лежит с другой стороны от данной плоскости. Отклонение точки от плоскости обозначим буквой d; таким образом, d=± d, причем полезно заметить, что d=+d, когда точка М* и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и d=-d, когда точка М* и начало координат лежат по одну сторону от плоскости (для точек, лежащих на плоскости, d=0).

 

Теорема. Если точка М* имеет координаты (x*; y*; z*), а плоскость задана нормальным уравнением x cosa + ycosb + zcosg - р=0, то отклонение точки М* от этой плоскости задается формулой

 

d= x* cosa + y*cosb + z*cosg - р.

 

Доказательство. Спроектируем точку М* на нормаль; пусть Q - ее проекция (рис. 1); тогда

 

d=PQ=OQ - OP,

 

где PQ, OQ, OP - это величины направленных отрезков нормали: , и . Но OQ= , ОР=р; следовательно

 

d= - р. (5)

 



Из ранее доказанного

 

= x* cosa + y*cosb + z*cosg. (6)

 

Из равенств (5) и (6) получаем:

 

d=x* cosa + y*cosb + z*cosg - р

 

Теорема доказана.

 

Покажем, как привести общее уравнение плоскости к нормальному виду. Пусть

 

Аx+Вy+Сz+D=0 (7)

 

- общее уравнение некоторой плоскости, а

x cosa + ycosb + zcosg - р=0 (3)

 

- ее нормальное уравнение. Так как уравнения (7) и (3) определяют одну и ту же плоскость, то коэффициенты этих уравнений пропорциональны, т.е.

 

mА=cosa, mВ=cosb, mС=cosg, mD= -р. (8)

 

Чтобы найти множитель m, возведем первые три из этих равенств в квадрат и сложим. Получим:

 

m2222)= cos2a + cos2b + cos2g.

Т.к. cos2a + cos2b + cos2g=1, то .

 

Число m называется нормирующим множителем. Для определения знака нормирующего множителя используем последнее из равенств (8): mD=-р. Следовательно, знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена нормируемого уравнения. Если D=0, то знак нормирующего множителя можно выбирать по желанию.

 

Пример. Даны плоскость 12х-4y+3z+14=0 и точка М(1; 3; 4). Найти отклонение точки М от данной плоскости.

Решение. Приведем данное уравнение к нормальному виду. Найдем нормирующий множитель: . Умножая данное уравнение на m, получим исходное нормальное уравнение плоскости: . Подставляя в левую часть этого уравнения координаты точки М, имеем: . Итак, точка М имеет отрицательное отклонение от данной плоскости и удалена от нее на расстояние d=2.

 

 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...