Главная Обратная связь

Дисциплины:






Определение предела функции в точке.



Определение 1. Последовательность {x} называется последовательностью Гейне (для точки а и множества {x}), если xn Î{x}, {x}®a, xn¹a.

 

Определение 2. (определение предела по Гейне) Число b называется пределом функции y=f(x) в точке , если для любой последовательности Гейне {xn}соответствующая последовательность значений функций {f(xn)}сходится к числу b.

 

Таким образом, для доказательства того, что функция y=f(x) не имеет предела в т. а (в смысле определения по Гейне), достаточно указать две последовательности Гейне {x1n}и {x11n}, для которых

 

Пример 1.Функция Дирихле y=D(x) не имеет предела в т. a=0.

 

Действительно,

 

.

 

Пример 2.Функция y=sgnx не имеет предела в т. а=0.

 

 

Определение 2. *(определение предела по Коши). Число b называется пределом функции y=f(x) в точке а, или при x®a ( ), если для любого положительного числа e найдется положительное число d такое, что для всех значений аргумента x, удовлетворяющих условию 0<½x-a½<d, будет выполняться неравенство ½f(x)-b½<e .

 

.

 

Замечание 1. Условия xn ¹a и 0<½x-a½ в определениях 2 и 2* исключают из рассмотрения т. а. В этой точке функция y=f(x) может быть не определена, либо ее значение может быть отличным от b. Таким образом, предел функции в т. а не зависит от значения функции в этой точке.

 

Замечание 2. Условие 0<½x-a½<d Û(a-d < x < a+d)Ù(x¹a) Û x принадлежит проколотой d - окрестности т. а. Условие ½f(x)-b½<e Û b-e< f(x)<b+e Û f(x) принадлежит e - окрестности т. b. Это условие означает, что точки графика функции y=f(x) с координатами (x, f(x)) попадают в e полоску {b-e<y<b+e} прямой y=b.

 

Рис. 4

 

Замечание 3. В определении 2* достаточно найти d= d(e) только для малых e>0. Так как из неравенства e1 < e2 и ½f(x)-b½<e1 , очевидно, следует неравенство ½f(x)-b½<e2 для тех же значений x (и, следовательно, для d(e2)= d(e1)).

 

С другой стороны, если d(e) найдено лишь для достаточно больших e, то этого может быть недостаточно для существования предела функции (см. рис.5)

 

Рис. 5

 

Очевидно, для e1>0 нельзя найти d(e1), для которого при всех x из проколотой d(e1) - окрестности т. а график попадал бы в e1 - полоску y=b. (Для e2>0 такое d(e2) существует).

 

Замечание 4.Если в определении 2* по данному e> 0 найдено d= d(e)>0,



то любое d1 : 0<d1 <d(e) такое можно взять в качестве d. Действительно, 0<½x-a½<d1 Þ 0<½x-a½<d(e) Þ½f(x)-b½<e . Отсюда следует, что в определении 2* не нужно искать наибольшее возможное значение d по данному значению e> 0.

Замечание 5. Определение 2* можно сформулировать следующим образом: , если для любой e - окрестности точки b , существует такая d- окрестность т. а, что для всех значений аргумента x, принадлежащих этой d- окрестности и отличных от а, значение функции f(x) попадает в e - окрестность т. b.

 

Замечание 6.В определении предела требуется существование симметричной окрестности (d- окрестности) точки а, но для e - окрестности т. b, может существовать несимметричная большая окрестность. (см. рис. 2).

 

Теорема.Определения 2 и 2*предела функции по Гейне и Коши эквивалентны.

Пример 3.Доказать по определению, что .

 

Запишем определение предела по Коши для данной функции.

 

Задача состоит в том, чтобы по e найти d, при котором справедлива эта импликация.

 

Рассмотрим неравенство ½x3 +x-10½< e и будем искать часть множества его решений вида ½x-2½< h(e), тогда h(e) можно будет взять в качестве d.

 

x3 + x-10= x3 - 8+ x-2=(x-2)(x2 +2x+4+1)

½x3 + x-10½< E Û½x-2½½x2 +2x +5½<e.

 

Рассмотрим сегмент [1, 3] , на котором функция x2+2x+5 является ограниченной: ½x2 +2x+5½£ 9+6+5=20, тогда

 

Отсюда, в качестве d можно взять Число d£1, т.к. xÎ[1,3]. Таким образом, условие ограниченности x2 +2x +5, а следовательно, возможность сведения неравенства ½x3 +x-10½< e к более простому повлекло за собой ограничение области изменения x , т.е. ограничение на величину d сверху. Если e мало (например, e<1), то , т.е. ограничение d£1 не является существенным. Далее заметим, что даже при малых e>0 число не является наибольшим возможным d(e). Однако, как мы уже отмечали, наибольшее d(e) в определении предела и не нужно.

 

 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...