Главная Обратная связь

Дисциплины:






Основные законы и формулы. 1. Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью



1. Импульс материальной точки массой m, движущейся со
скоростью

2. Основное уравнение динамики (второй закон Ньютона)

,

где – геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; N – число сил, действующих на точку.

При m = const ( масса не зависит от скорости) второй закон Ньютона имеет вид

или

где – вектор ускорения.

3. Основное уравнение динамики в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки

, .

4. Сила гравитационного взаимодействия материальных точек массами и , находящихся на расстоянии r друг от друга

где G – гравитационная постоянная.

5. Сила тяжести

,

где ускорение свободного падения.

6. Сила упругости

,

где k – коэффициент упругости; x – абсолютная деформация.

 

7. Сила трения скольжения

,

где – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.

8. Работа, совершаемая постоянной силой

или

где – угол между направлениями векторов силы и перемещения

9. Работа, совершаемая переменной силой на участке траектории L

,

где интегрирование ведётся вдоль траектории L; – элементарный путь.

10. Мгновенная мощность в поступательном движении

или

где – угол между векторами силы и скорости

11. Кинетическая энергия материальной точки, движущейся поступательно со скоростью , определяется

или

12. Потенциальная энергия материальной точки находящейся в однородном поле силы тяжести ( = const)

,

где h – высота материальной точки над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии; g – ускорение свободного падения.

13. Потенциальная энергия упруго деформированного тела (сжатой или растянутой пружины)

14. Закон сохранения импульса замкнутой системы

или

где N – число материальных точек входящих в систему.

 

15. Момент инерции относительно оси вращения:

материальной точки

где m – масса материальной точки, r – расстояние от неё до оси вращения.

системы материальных точек

где – масса материальной точки, – расстояние от этой точки до оси вращения.

твердого тела

,

где dm и dV – масса и объём элемента тела, находящегося на расстоянии r от оси Z, – плотность тела в данной точке.

Таблица 2

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы

Тело Ось, относительно которой определяется момент инерции Формула момента инерции
однородный тонкий стержень массой m и длиной l Ось проходит через середину стержня перпендикулярно ему   Ось проходит через конец стержня перпендикулярно ему
тонкое кольцо, труба радиусом R и массой m Ось симметрии  
сплошной однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой m Ось симметрии
однородный шар массой m и радиусом R Ось проходит через центр шара

 



16. Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси

,

где – момент инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс; m – масса тела; a – расстояние между произвольной осью и параллельной осью, проходящей через центр масс тела.

Момент силы относительно точки О равен векторному произведению и

,

где – радиус-вектор, проведённый из точки О в точку приложения силы (рис. 3).

Модуль момента силы

,

где d – плечо силы – величина, равная кратчайшему расстоянию от точки вращения О до линии действия силы.

 
 

 

 


Рис. 3

18. Момент импульса твердого тела относительно оси Z

,

где – момент инерции твёрдого тела относительно оси Z; – угловая скорость твёрдого тела относительно оси Z.

19. Уравнение вращательного движения твердого тела относительно неподвижной точки О

,

где – момент импульса твёрдого тела; – результирующий момент внешних сил.

В проекции на ось Z

,

где – момент инерции твёрдого тела относительно оси Z; – угловое ускорение относительно оси Z.

20. Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы, когда результирующий момент внешних сил равен нулю ( )

или

где – момент инерции твёрдого тела относительно оси Z; – угловая скорость относительно оси Z.

21.Работа внешних сил при вращении твёрдого тела относительно оси Z

где – угол, на который поворачивается тело за время t; – проекция момента силы на ось Z.

22. Работа постоянного момента силы

23. Мгновенная мощность во вращательном движении

24. Кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси Z

,

где Iz – момент инерции тела относительно оси Z; – угловая скорость тела.

25. Кинетическая энергия плоского движения

,

где – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс; – линейная скорость центра масс.

26. Приращение кинетической энергии

где – работа всех сил, действующих на тело.

27. Убыль потенциальной энергии в поле

где – работа сил поля.

28. Приращение полной механической энергии

где – работа результирующей всех сторонних сил, то есть сил, не принадлежащих к силам данного поля.

 

Пример 4.Наклонная плоскость, образующая угол с плоскостью горизонта, имеет длину . Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время . Определить коэффициент трения тела о плоскость.

Дано: ; м; с.

Найти:

Решение:Изобразим силы, действующие на тело (рис. 4)

Рис. 4

где – сила тяжести, – сила нормального давления, – силатрения.

Для решения задачи используем второй закон Ньютона

а) в векторной форме

б) в скалярной форме

в проекции на ось ox: ,

в проекции на ось oy:

Получили систему уравнений

(1)

Сила трения

Тогда (2)

Выразим Fтриз системы уравнений (1):

(3)

Подставим (3) в (2):

(4)

В случае равноускоренного поступательного движения координата x:

Так как по условию , то путь пройденный телом
S = x – x0:

Выразим :

(5)

Подставим (5) в (4):

Выполним вычисления:

Ответ:

 

Пример 5. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением , где рад; В = 16 рад/с; С = 2 рад/с2. Момент инерции маховика равен . Найти законы, по которым изменяются вращающий момент и мощность. Чему равна мощность в момент времени с.

Дано: ; рад; ; ;
I = 50 кг∙м2.

Найти: (t = 3 с).

Решение: Маховик вращается согласно закону

.

По основному уравнению динамики вращательного движения модуль момента силы

Мгновенная мощность

.

Определим выражение для угловой скорости:

Определим выражение для углового ускорения:

Выполним вычисление :

рад/с; рад/с2 = const.

Законы, по которым меняются:

а) вращающий момент ;

б) мгновенная мощность

Выполним вычисления:

Н∙м,

Вт.

Ответ: N = 5600 Вт.

 

Пример 6. Горизонтальная платформа массой кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой . Человек массой стоит при этом на краю платформы. С какой угловой скоростью начнёт вращаться платформа, если человек перейдёт от края платформы к её центру? Считать платформу круглым однородным диском, а человека – материальной точкой.

Дано: кг; кг; мин –1= с –1.

Найти:

Решение: Воспользуемся законом сохранения момента импульса относительно оси Z:

или

Рассмотрим два случая:

а) человек на краю платформы б)человек в центре платформы

(рис.5); (рис.6);

       
 
   
 

 

 


Рис.5 Рис.6


где – угловая скорость платформы и человека в первом случае.

где R – радиус платформы.

 

где – угловая скорость платформы и человека, после того как он перешёл в центр платформы.


Согласно закону сохранения момента импульса

Тогда

Сократим на и учтём, что :

Выразим

.

Выполним вычисления:

рад/с2.

Ответ: рад/с2.

 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...