Главная Обратная связь

Дисциплины:






Уравнение гармонических колебаний



,

где x – смещение точки от положения равновесия; A – амплитуда колебаний ( = xmax); – циклическая частота колебаний; t– время; – начальная фаза колебаний; – фаза колебаний в момент времени t.

2. Циклическая частота

где T – период колебаний; – частота колебаний.

3. Скорость и ускорение колеблющейся материальной точки

.

4. Сила, под действием которой материальная точка массой m совершает колебания

или

где – коэффициент упругости; Fx – квазиупругая сила.

5. Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания

6. Период колебаний гармонического осциллятора:

1) физического маятника

где I – момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; b – расстояние от центра масс тела до оси колебаний; g – ускорение свободного падения; – приведённая длина физического маятника;

2) математического маятника

где – длина маятника;

3) пружинного маятника ( тела, подвешенного на пружине; масса пружины мала по сравнению с массой тела)

где m – масса тела; k – жесткость пружины;

4) идеального колебательного контура

где L – индуктивность контура; С – электроёмкость контура.

7. Координаты центра масс системы материальных точек

где – масса материальной точки; – её координаты.

8. При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты получается гармоническое колебание того же периода с амплитудой

и начальной фазой

где – амплитуды складываемых колебаний; – их начальные фазы ( , то есть разность фаз в любой момент времени равна разности начальных фаз).

9. При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты уравнение траектории результирующего движения в координатах x, y имеет вид

а) если

б) если

в) если

10. Дифференциальное уравнение свободных, незатухающих гармонических колебаний материальной точки

где – вторая производная смещения по времени (физический смысл – ускорение).

Решение этого уравнения

где – собственная циклическая частота ( ).

11. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

где – коэффициент затухания ( ); r – коэффициент сопротивления
( ); – собственная циклическая частота ( ).

Решение этого уравнения

где – амплитуда затухающих колебаний; – амплитуда колебаний в момент времени – циклическая частота затухающих колебаний ( ).

 

12. Логарифмический декремент затухания

где и – амплитуды двух последующих колебаний, отстоящих по времени друг от друга на период.

13. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

где ; – амплитудное значение вынуждающей силы ; – частота изменения вынуждающей силы.



Решение этого уравнения

где А – амплитуда вынужденных колебаний; – частота изменения вынуждающей силы.

;

– начальная фаза вынужденных колебаний

.

14. Резонансная частота и резонансная амплитуда

 

Пример 17. Материальная точка массой г, совершает гармонические колебания с частотой Гц. Амплитуда колебаний см. Определить:

1) максимальную силу, действующую на материальную точку;

2) полную энергию колеблющейся точки.

Дано: г = кг; Гц; 5 см = 0,05 м.

Найти:

Решение:

1) Уравнение гармонических колебаний

.

Сила, действующая на материальную точку по второму закону Ньютона определяется

,

где – ускорение материальной точки

или

Сила будет максимальна при условии, когда Тогда максимальная сила, действующая на материальную точку

Учтём, что (1)

Таким образом

Выполним вычисления:

Н.

2) Полная энергия колеблющейся точки

(2)

Подставим (1) в (2)

Выполним вычисления:

Дж.

Ответ: 0,8 мН; 19,7 мкДж.

 

Пример 18. Складываются два колебания одинакового направления, выражаемых уравнениями , где 1 см, 2 см, 1/6 с, 1/2 с, Определить:

1) начальные фазы составляющих колебаний;

2) амплитуду и начальную фазу результирующего колебания.

Дано: ; ;

1 см = 0,01 м; 2 см = 0,02 м; 1/6 с; 1/2 с; .

Найти: 1) ; 2)

Решение: 1) Уравнение гармонического колебания

(1)

Для данных гармонических колебаний:

, (2)
. (3)
Сравнив (2) и (3) с (1) получим:

Выполним вычисления:

Для определения и результирующего колебания построим векторную диаграмму (рис. 17).


 

Рис. 17

Для гармонического колебания :

м; рад.

Для гармонического колебания :

м; рад.


Амплитуда результирующего колебания является диагональю параллелограмма, построенного на векторах и

По теореме косинусов

Выполним вычисление амплитуды результирующего колебания:

м.

Так как

то

Выполним вычисления начальной фазы результирующего колебания:

рад.

Так как частоты складываемых колебаний одинаковы, то результирующее колебание будет иметь ту же частоту, и уравнение этого колебания будет иметь вид:

Ответ: м; рад.

 

Пример 19. Найти число N полных колебаний системы, в течение которых энергия системы уменьшилась в 2 раза. Логарифмический декремент затухания

Дано: ; .

Найти: N.

Решение: Полная энергия колебательной системы складывается из потенциальной и кинетической

. (1)

После подстановки в выражение (1) формул и , соответствующих затухающим колебаниям, получим зависимость энергии от времени .

При малом затухании ( ) зависимость становится практически экспоненциальной

.

Запишем значения энергии для двух моментов времени и найдём отношение энергий

; ;

,

где – время, за которое энергия системы уменьшается в 2 раза.

 

 

Тогда

или

. (2)
Выразим время через период Т исследуемых колебаний

. (3)

После подстановки выражения (3) в (2), получим:

.

Учтём, что .

Тогда

или .

Выполним вычисления:

.

Ответ: N=34.

 

ВОЛНОВАЯ ОПТИКА





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...