Главная Обратная связь

Дисциплины:






Изучение несвободных колебаний



 

Оборудование: прибор для исследования колебаний несвободных систем; линейка.

 

Теоретическая часть

1. Синфазные и противофазные колебания

 
 

Каждый из этих двух одинаковых маятников, изображенных на рис. 1, представляет собой тонкий легкий стержень с закрепленным на нем массивным грузом массы . Таким образом, маятники близки по своим свойствам к математическому маятнику. Маятники связаны друг с другом легким упругим соединителем с коэффициентом упругости .

Отклоним оба маятника в одну сторону на одинаковый угол и предоставим систему самой себе. Поскольку маятники тождественны и упругая связь между ними практически не действует, они будут колебаться одинаковым образом. О таких колебаниях говорят как о синфазных. Очевидно, что частота синфазных колебаний каждого из маятников такая же, как если бы он не был связан с другим маятником. Для нахождения этой частоты можно воспользоваться известной формулой, относящейся к математическому маятнику

, (1)

где - ускорение силы тяжести.

Отклоним теперь маятники на одинаковые углы, но в противоположные стороны, и предоставим систему самой себе. В этом случае маятники будут колебаться с зеркальной симметрией. Такие колебания называются противофазными. Вычислим частоту противофазных колебаний. Пренебрегая диссипацией энергии за счет трения, сопротивления воздуха и т.д. имеем

, (2)

где - кинетическая энергия колеблющихся грузов; - их потенциальная энергия; - потенциальная энергия упругой связи. Имеем:

, (3)

где - момент инерции одного маятника, - угловая скорость маятника;

, (4)

где - высота подъема маятника;

, (5)

, (6)

где - расстояние от точки подвеса до центра шара маятника, - угол отклонения маятника от положения равновесия.

, (7)

где - расстояние от точки подвеса до пружины связи маятников,

. (8)

Подставляя (6), (7) в (4), (5) и считая угол малым, так что можно положить , , получим из (2) с учетом (8)

.

Дифференцируя последнее неравенство по времени , получим

, (9)

. (10)

Уравнение (9) есть уравнение гармонических колебаний, происходящих с циклической частотой . Из (10) находим частоту противофазных колебаний упруго связанных маятников

. (11)

2. Биения

Рассмотрим теперь более общий случай, когда маятники неодинаковы, так что частоты их свободных колебаний различны. В этом случае колебания каждого из маятников являются суперпозицией (суммой) двух гармонических колебаний с циклическими частотами и , так что угол отклонения одного из маятников зависит от времени по закону

. (12)

Амплитуды и начальные фазы зависят от начальных условий запуска маятников.



Пусть частоты хотя и различны, но близки по величине. Тогда

, (13)

. (14)

Преобразуем выражение (12)

,

. (15)

Второе слагаемое в (15) представляет собой чисто гармоническое колебание с частотой .Первое же слагаемое можно рассматривать как колебание с частотой

,

амплитуда которого, равная

 
 

периодически зависит от времени, причем частота изменения амплитуды мала по сравнению с частотой . Графическая зависимость угла отклонения от времени имеет при этом вид, показанный на рис. 2. Такие колебания называются биениями.

 

3. Вынужденные колебания

Если на колебательную систему воздействует внешняя периодическая сила с частотой , то система будет колебаться с частотой вынуждающей силы. При частоте вынуждающей силы, близкой к одной из собственных частот системы (в случае связанных маятников это частоты и ), имеет место возрастание амплитуды колебаний – резонанс. Зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы, действующей на связанные маятники, имеет вид, изображенный на рис. 3.

 
 

Описание экспериментальной установки

Общий вид прибора FPM – 13 представлен на рис. 4 а, б. Основание 1 оснащено регулирующими винтами, обеспечивающими выравнивание прибора. В основании закреплена колонка 2. На колонке закреплена втулка 3 и кронштейн 4. На стержне 5 втулки находятся три подвески 6, на которых подвешены в подшипниках два маятника и стержень 7, возбуждающий колебания. Маятник состоит из стержня 8 и перемещаемого груза 9.

 
 

Маятники сопряжены друг с другом при помощи двух пружин 10, закрепленных в – образной обойме 11, которую можно перемещать вдоль стержней маятников. Возбуждение колебаний осуществляется при помощи приводного диска, закрепленного на валу электродвигателя, который, двигая стержень 7, сопряженный при помощи двух пружин 10 со стержнем маятника, возбуждает его колебания. Электродвигатель находится в блоке управления и измерения 12. К нижнему кронштейну прикреплена угловая шкала 13, при помощи которой определяется амплитуда колебаний маятников. К нему прикреплен также фотоэлектрический датчик 14, световой поток от которого пересекает стержень одного из совершающих колебания сопряженных маятников.

 

Задания к лабораторной работе

1. Определить частоту синфазных и противофазных колебаний сопряженных маятников

Для определения частоты синфазных колебаний следует:

§ установить обоймы, крепящие пружины, на верхней части стержней маятников, а грузы на нижней части стержней на одинаковом расстоянии от концов;

§ отсоединить пружины от обоймы, соединяющей маятники со стержнем, возбуждающим колебания;

§ нажать кнопку «Сеть»;

§ отклонить маятники в одинаковую сторону на угол около 6о и отпустить их;

§ нажать переключатель «Сброс»;

§ после подсчета прибором около 10 периодов колебаний нажать кнопку «Стоп»;

§ записать время и количество колебаний, считав их с индикаторов.

Вычислить частоту синфазных колебаний по формуле:

,

где - количество периодов колебаний, - продолжительность измерений.

Измерение частоты противофазных колебаний производится аналогично, но маятники надо первоначально отклонить в противоположные стороны на угол около 6о и отпустить.

 

2. Изучить явление биений

Для наблюдения биений необходимо:

§ отсоединить пружины от обоймы, сопрягающей маятники со стержнем, возбуждающим колебания;

§ установить произвольные параметры маятников;

§ один из маятников отклонить на угол около 30о и отпустить, наблюдать происходящие явления.

 

3. Изучить явление резонанса

Для наблюдения резонанса необходимо:

§ наложить пружины на обойму, сопрягающую маятники со стержнем, возбуждающим колебания;

§ включить питание электродвигателя;

§ регулируя обороты электродвигателя, наблюдать амплитуду колебаний маятников;

§ при резонансе маятники колеблются с амплитудой около 20о.

 

Вопросы

1. Гармонические колебания.

2. Математический и физический маятники.

3. Вынужденные колебания.

4. Резонанс.

5. Биения.

 

Литература

1. Пономаренко В.И., Ильин Ю.М. Курс общей физики. Механика. – Киев: Изд-во «ВИПОЛ», 1997. – 212 с.

2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. – М.: Наука, 1974.


 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...