Главная Обратная связь

Дисциплины:






Поняти несобственного интеграла 2-го рода. Свойства. Признаки сходимости.



Опр. Несобственные интегралы 2-го рода это интегралы от неограниченных функций на ограниченном промежутке.

Y=f(x)- непрерывна на [a;b) и в окресностях точки b неограниченна; Ԑ>0

F непрерывна на [a; b-Ԑ] c [a;b)

Существует

=def= - опр-е несобств. Интеграла 2-го рода. (*)

Когда (*) существует (конечен), тогда интеграл наз-ся сходящимся.

Когда сущ-ет но бесконечен, то интеграл наз-ся расходящимся.

Свойства: признак сравнения, достаточное условие сходимости f(x)-как выше, g(x)-такая же, но имеет на [a;b] сходящийся интеграл.

Любое x ϵ[a;b): |f(x)|≤g(x)

Когда это все выполняется, то тогда (*) – сходящийся.

43) Производная высших порядков. Формула Лейбница

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,

f"(x) = (f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f(n). Итак,

f(n)(x) = (f(n-1)(x))', n ϵ N, f(0)(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dnf(x) = d(dn-1f(x)), d0f(x) = f(x), n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const и d2x = d3x = ... = dnx = 0.

В этом случае справедлива формула

dnf(x) = f(n)(x)(dx)n.

Производные n-го порядка от основных элементарных функций

Справедливы формулы

Формула Лейбница

Если u и v - n-кратно дифференцируемые функции, то

Производные n-го порядка вектор-функции, комплекснозначной и матричной функций

Если компоненты n-кратно дифференцируемы, то .

Аналогично для комплекснозначной функции f и матричной функции A имеем формулы:

f(n)(x) = u(n)(x) + iv(n)(x); dnf(x) = dnu(x) + idnv(x);

44) Дифференциал функции. Основные его свойства. Геометрический смысл дифференциала.

Рассмотрим y=f(x) Пусть f’(Xo) (Xo – внутр. mD(f))=> Δy= , (где ΔX=X+Xo, ) прямо пропорционально от Δx ; БМФ при Δx->0 более высокого порядка чем Δx; Δy-I=II

Δy-(I) = α(Δx)->0 при Δx->0

Δy отлич от 1-го слол. пр. ч. на величину б.м более высокого порядка чем Δx

Определение: Диф-ом функции в точке Xo наз-ся произв df|X=Xo=f’(Xo)* Δx

Диф-ом независ переем совпадает с ее приращением.

df=f’(x)*dx(*)

Св-во инвариантности: (*) ост-ся верной даже если Х зависит от какой-либо переменной X=γ(t) ; y=f(γ(t)), где t – независ.перем.



dy=(f(γ(t))’dt ; dx= γ’(t)dt

(f(γ(t)))’=f’(x)* γ’(t)

dy=f’(x)* γ’(t)dt; dy=f’(x)dx

Геометрич. смысл:

MN=X-Xo ; tgα = f’(x) ; NT=MN*tgα=f’(x)Δx

Значение диф-ла = приращение ординаты касат-й при переходе OX Xo к X

Св-ва: 1) Лин.завис от Δx 2) Диф. отлич. от приращ-я но оси ΔX

29. Кубируемость тел вращения. Вычисление их объемов.
Объем тел вращения.

Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.
Пусть y=f(x)-непрерывна и неотрицательна на [а,в]
Теорема: Всякое тело вращения кубируемо и его объем равен:
V=𝜋
Теорема: Пусть задано тело а≤x≤b, тогда Р(х)- это площадь сечения, непрерывная на [а,b]

Кавальери принцип состоит в следующем: если при пересечении двух тел любой плоскостью, параллельной некоторой заданной плоскости, получаются сечения равной площади, то объёмы тел равны между собой. Это положение (и аналогичное ему для случая плоских фигур).
Если кривая ав задана параметрическими уравнениями, то
V=𝜋 ;
Если тело получается вращением в полярной системе координат, то
V=

45) Арифм св-ва диф-ла функции. Диф-лы высших порядков.

y=f(x), Xo-внутр mD(f); df|X=Xo=f’(Xo)*ΔX ; dy=f’(x)dx

1) Однородность (возможность выноса коэф С)

f-диф-л в т Xo и C ∈R , то сущ-т d(Cf)|X=Xo=C*df|X=Xo

2) f,g – диф. в т. Хо => сущ-т d(f±g)|X=Xo=df|X=Xo ± dg|X=Xo

Док-во

df(x)=f’(x)dx (f±g)’= f’±g’ (ар св-ва дифер-я)

(f±g)’dx=( f’±g’)dx =>d(f±g)= df±dg

3) f,g – диф в т Xo => сущ-т d(f*g)|x=xo=

df|x=xo* g(Xo)+f(Xo)*dg|x=xo

Док-во: df(x)=f’(x)dx

(f*g)’= f’*g+ f*g’ (ар. св-ва диф-я)

(f*g)’dx= (f’*g+ f*g’)dx=(fdx)g+f(gdx);

d(f*g)=g(Xo)*df+f(Xo)*dg

4) f,g – диф в т Хо => g(Xo)≠0 =>

d( )’|X=Xo =

Д-во: диф в т Xo ; сущ-т ( )’(Xo)=

d( )|X=Xo=( )’(Xo)*Δx= = =

Диф-лы высших порядков:

y=f(x)-диф в некот. окр-ти Хо∈D(f) Сущ-т y’=f’(x) ∀X∈Ov(Xo). Если ф-я f’ диф-ма в т Xo то у нее в этой точке сущ-т d(df)(Xo,Δx)=d(f’(x)*Δx)|x=xo=

=(f’(x)*Δx)’|x=xo * Δx=f’’(Xo)* Δx* Δx=f’’(Xo)* Δx^2

(d^2 f’)(Xo, Δx)=f’’(Xo)* Δx^2 диф 2 порядка

d^2 f = f’’(Xo)* Δx^2

 

 

46) Т.Ферма и Ролля .Геометрический смысл

Т.Ферма если ф-ция y=f(x) диф. в т.Х0 и Х0-её т.экс-ма ,то f ’(X0)=0

f ’(X0)

X0-т.экст-ма =>f ’(X0)=0

Д-во:

I] ∐ Х0-т.min=> б>0 для любого Х∈Д(f ) ⋂Oб0) : f(X) ≥ f(Xo)=>f(X)-f(X0) ≥0=> f ’(X0)= =

1)x>x0=>x-x0>0=> ≥0=>f ’(x0) ≥0

2)x<x0=>x-x0<0=> 0=>f ’(x0) 0=>f ’(x0)=0

II] ∐ x0-т.max (аналогично)

Необх.усл. т.экстремума f имеет в т Х0 экстремум=>

y= xo=0

y ’(0) xO=0-т.min

Т.Ролля если

1)y=f(x) непр на

2)диф. на

3)f(a)=f(в)

=> C∈ (a;в) :f ’(C)=0

Док-во:по т.Вейерштрасса из непр. fна [a;в]=>сущ. наибол. и наименьшее значение

x1,x2∈[a;в] для любого x∈[a;в] f(x1)≤f(xO) ≤f(x2)

1)если f стационарна f=C=>f ‘ (x)=0 для любого Х∈(a;в)=>C=

2)расм. f C=>f(x1) f(x2)=>X1 или X2∈(a;в)

∐ это Х1-т.экст.=>f ‘(x1)=0

Геометрический смысл т.Ролля

Если ф-ция обладает 1)2)3),то у неё обязательно есть т.графика с корд.(С ; f(C ) ),в сот.кас-ая горизонтальна

1)

 

 

Геом.смысл Т.Ферма

В точке на кривой имеющей абцису Хо касат. к кривой у=f(X),если она ,оказывается || оси (ОХ)

 

 

 

47) Т.Лагранжа

Если 1)y=f(x)непр. на [а;в] то С∈(а;в):

2)диф. на (а;в)

f(в)-f(а)=f ‘(c )(в-а)

Док-во:

Расм. g(x)=f(x)-kx- отподает (1) и(2) на [а;в].Подберём коэф. К,чтобы g(a)=g(в)< = > f(a)-k*a=f(b)-k*b

k(b-a)=f(b)-f(a)=>k= По т.Ролля С∈(a;b):g ‘(c)=0=>f ‘(c)-k=0=>k=f ‘(c)=> =>f ‘(c)= =>f ‘(c)(b-a)=f(b)-f(a)

 

на кривой y=f(x) м/у т.А и В найдется такая т.С касат. В кот-ой || хорде АВ

Ф-ла конечных приращений

Расм. y=f ‘(x0+Q∆X)∆X (0<Q<1)

∐ y=f(x) удовл. Усл . Т. Лагранжа

ХО∈[a;b]

(XO+∆X) ∈[a;b] (задали)

f(XO+∆X)-f(XO)=∆X f ‘(c )

Найдется такое Q ∈(0;1):С=ХО+Q∆X=>f(XO+∆X)-f|XO|=∆X f ‘(Xo+Q∆X)

 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...