Главная Обратная связь

Дисциплины:






Свойства определённого интеграла.



1) Примем как соглашение, что

и что для любой интегрируемой на сегменте функции

(2)

2) Свойство линейности. Если функции и интегрируемы на сегменте и и - произвольные вещественные числа, то функция интегрируема на сегменте , причём

Действительно, пусть - произвольное разбиение сегмента . Рассмотрим интегральную сумму функции , отвечающую данному разбиению и произвольному выбору точек

Из последнего равенства имеем

Что доказывает равенство (3).

Из свойства линейности следует, что для произвольной интегрируемой на сегменте функция и произвольного вещественного числа функция интегрируема на сегменте , при этом

.

3) Свойство аддитивности. Если и функция интегрируема на каждом из сегментов и , то

Действительно, возьмём произвольное разбиение сегмента , содержащее точку , т.е.

Возьмём произвольные точки , принадлежащие частичным сегментам и составим интегральную сумму, отвечающую данному разбиению сегмента .

Очевидно, точки образуют разбиение отрезка , а точки - разбиение отрезка . Тогда, в силу интегрируемости функции на сегментах и существуют пределы интегральных сумм, стоящих в правой части равенства (5). Следовательно, существует предел интегральной суммы в правой части равенства (4) и справедливо равенство (4).

Замечание. При формулировке свойства 4), необязательно требовать интегрируемость функции на всех трёх сегментах и . Так как, можно доказать, что из интегрируемости функции на сегментах и следует её интегрируемость на сегменте и, наоборот, из интегрируемости функции на сегменте следует её интегрируемость на каждом из сегментов и





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...