Главная Обратная связь

Дисциплины:






Основная формула интегрального исчисления.



1. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция непрерывна на сегменте , тогда, в силу теоремы 3.1 для любой точки , функция

является одной из первообразных функции . В частности, взяв в качестве точки точку , получим, что и функция является первообразной функции .

Теорема 4.1. Пусть функция непрерывна на сегменте и - любая первообразная функции на этом сегменте, тогда

Доказательство. Так как является одной из первообразных функции на сегменте , то, в силу теоремы 1.1 главы 8, первообразную функцию можно представить в виде

где - некоторая постоянная. Пользуясь равенством (2), вычислим .

Тем самым справедливость формулы (1) доказана.

Формула (1) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Пользуясь обозначением

формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде

2. Замена переменной в определённом интеграле.

Теорема 4.2. Пусть функция непрерывна на сегменте , а функция дифференцируема на сегменте , причём производная непрерывна в каждой точке сегмента . Пусть множеством значений функции является сегмент и при этом

, тогда справедлива формула

Доказательство. Пусть F(x) – какая-нибудь первообразная функции на сегменте ; тогда по формуле Ньютона-Лейбница

Рассмотрим функцию , определённую на сегменте . Согласно правилу дифференцирования сложной функции

Отсюда следует, что функция является первообразной для функции , непрерывной на сегменте , и поэтому, согласно формулк Ньютона-Лейбница, получим

Теорема доказана.

3. Формула интегрирования по частям в определённом интеграле.

Теорема 4.3. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке , тогда справедлива формула

Доказательство. Так как функция является первообразной для функции

, то, согласно формуле Ньютона-Лейбница

Из равенства (7) найдём

Теорема 4.3 доказана.

Учитывая справедливость равенств формулу (6) можно записать в более компактной форме:

Билет





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...