Главная Обратная связь

Дисциплины:






Критерий устойчивости Попова



 

Пусть для представленной структуры:

 

ЛЧ: (1)

(2)

Должна быть устойчивой, либо содержать характеристическое уравнение , у которого не боле двух нулевых корней.

При должно выполняться следующее условие:

НЭ может иметь произвольную форму, но всегда должен располагаться в следующем секторе.

 

 

Условие устойчивости по Попову:

(1’)

– функция Попова

– АФХ линейной части

– размах сектора

– действительное число

Проведем геометрическую интерпретацию критерия Попова:

Введем понятие Модифицированной АФХ

(3)

 

Модифицированная АФХ линейной части совпадает с АФХ линейной части в точках и , если на всей действительной оси.

Из уравнений (1') и (3) выпишем следующие неравенства:

Если выпишем уравнение , то получим прямую линию, смещенную на действительной оси на и имеющую наклон .

Положение равновесия будет абсолютно устойчивыми, если модифицированная АФХ линейной части системы лежит целиком справа от прямой, проходящей через точку с координатами .

– передаточная функция скорректированной ЛЧ

и должно выбираться так, чтобы скорректированная ЛЧ стала устойчивой.

 

Тогда используется определение модифицированной АФХ. Запишем следующее неравенство:

(5)

Тогда на плоскости условие (4) будет представлять собой параболу

Положение равновесия нелинейной системы с неустойчивой ЛЧ будет абсолютно устойчивым, если модифицированная АФХ линейной части расположена вне параболы с вертикальной осью и проходящей через точку .

Если линейная часть системы устойчива, то небольшое увеличение коэффициента усиления не нарушит эту устойчивость.

Область устойчивости, определенная по критерию Попова, более широкая и является огибающей для всех областей устойчивости, определенных по функции Ляпунова.

Если выполняется критерий Попова, то всегда можно подобрать функцию Ляпунова.

Для случая неоднозначной нелинейности, когда

ЛЧ должна быть устойчивой или астатической с первым порядком астатизма (один нулевой полюс), тогда:

Положение равновесия будет абсолютно устойчив, если модифицированная АФХ целиком лежит справа от прямой, проходящей через точку .

Если АФХ линейной части такова, что она пересекает действительную ось так, что прямая, проведенная через точку является касательной к АФХ, то точку можно найти из условия нахождения системы на границе устойчивости.

 

 

 

Пример 1:

Исследовать систему на абсолютную устойчивость и равновесие.

; ;

 

Пример 2:



; ; ;

Определить абсолютную устойчивость положения равновесия в нелинейной системе и при нахождении линейности в секторе, ограниченном прямыми с наклоном и .

;

 

При любом k система будет находиться в абсолютно устойчивом положении равновесия

 

 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...