Главная Обратная связь

Дисциплины:






Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши



Оглавление

 

 

ВВедение.. 4

1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши.. 5

1.1 Постановка задачи.. 5

1.2 Численные методы решения задачи Коши.. 6

2 Одношаговые методы решения задачи Коши.. 7

2.1 Метод Эйлера.. 7

2.2 Модификации метода Эйлера.. 8

2.2.1 Усовершенствованный метод ломаных. 8

2.2.2 Усовершенствованный метод Эйлера-Коши. 9

2.3 Метод Рунге – Кутта.. 11

2.4 Методы Рунге – Кутта для системы дифференциальных уравнений.. 13

2.5 Выбор шага.. 14

3 ЛИНЕЙНЫЕ МНОГошаговые методы... 17

3.1 Методы Адамса.. 17

3.2 Методы прогноза и коррекции.. 19

4 РЕШЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.. 22

4.1 Метод конечных разностей.. 22

4.1.1 Построение сетки и введение сеточных функций. 22

4.1.2 Построение разностной схемы.. 23

4.2 Метод прогонки.. 23

Список литературы... 27

 

ВВедение

 

Развитие электронной вычислительной техники, алгоритмических языков программирования и обширного математического обеспечения ЭВМ позволяет широко использовать методы вычислительной математики при решении различного рода прикладных задач в науке, технике, производстве.

Выбор литературы по описанию различных численных методов достаточно широк, однако инженеру, не имеющему специального математического образования, или студенту, достаточно ограниченному во времени, часто бывает трудно разобраться в литературе по вычислительной математике и выбрать тот или иной метод решения стоящей перед ним математической задачи.

Ранее в работе [9] рассматривались основные понятия о численных методах, некоторые численные методы решения нелинейных уравнений, систем линейных уравнений, методы численного интегрирования, основные приёмы обработки экспериментальных данных (аппроксимация и интерполяция функций, заданных табличными значениями), а так же задача Коши и некоторые методы её решения для обыкновенных дифференциальных уравнений.

В настоящем пособии приводятся дополнительные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (усовершенствованный метод Эйлера и линейные многошаговые методы), а также рассматривается решение двухточечных краевых задач.

Настоящее пособие предназначено для студентов дневной формы обучения специальности 210106, изучающих курс “Вычислительные методы в инженерных расчётах”, а также для сотрудников и преподавателей, которые в своей работе встречаются с необходимостью применения численных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Материал в пособии расположен в порядке нарастающей сложности. Изучая его, читатель постепенно приобретает знания, необходимые для понимания последующего материала.



При описании каждого рассматриваемого в данном пособии численного метода даются основные понятия и определения, используемые в дальнейшем. Изложение метода сопровождается необходимыми рисунками, примерами и блок-схемой алгоритма, который может быть реализован на каком-либо языке программирования, в частности на Паскале. Кроме того, при написании пособия был учтён опыт преподавания данного курса на кафедре Информатики и программирования НГТИ.

Пособие может использоваться при самостоятельном изучении и выполнении лабораторных работ по решению обыкновенных дифференциальных уравнений студентами дневной формы обучения и сотрудниками других кафедр института.

 

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши

 

 

Существует множество технических систем и технологических процессов, характеристики которых непрерывно меняются со временем t. Такие явления обычно подчиняются физическим законам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений.

Дифференциальными называются уравнения, содержащие одну или несколько производных. Лишь очень немногие из них удаётся решить без помощи вычислительной техники. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют такую важную роль в практике инженерных расчётов.

В зависимости от числа независимых переменных и типа входящих в них производных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные, содержащие одну независимую переменную и производные по ней, и уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называются частными. В этом пособии рассматриваются методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

 

Постановка задачи

 

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время.

Задачу Коши можно сформулировать следующим образом.

Пусть дано дифференциальное уравнение и начальное условие y(x0) = y0. Требуется найти функцию y(x),удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Геометрический смысл задачи:

- тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x, y) к оси ОХ, - угловой коэффициент (рисунок 1.1).


Существование решения:

Если правая часть f(x, y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами

|x – x0| < a ; |y – y0| < b ,

то существует, по меньшей мере, одно решение y = y(x), определённое в окрестности |x – x0| < h, где h – положительное число.

Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица

где N – некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от a и b. Если f(x, y)имеет ограниченную производную в R, то можно положить

N = max| | при .

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...