Главная Обратная связь

Дисциплины:






ЛИНЕЙНЫЕ МНОГошаговые методы



Методы Адамса

В одношаговых методах, после того как найдено очередное значение yn в точке tn, значение yn-1 отбрасывают и уже не используют в последующих вычислениях. Естественно всё же попытаться извлечь определённую пользу из информации о значениях решения yn-k+1, …, yn-1, yn не в одной, а в k предыдущих точках tn-k+1, …, tn-1, tn, т.е. применить многошаговый метод.

Среди многошаговых методов наибольшее распространение в практике вычислений получили методы Адамса

(3.1)

Здесь β0, β1, …, βkчисловые коэффициенты, fn+1-j.= f(tn+1-j, yn+1-j). Уравнение (3.1) позволяет найти новое значение yn+1, используя найденные ранее значения yn,
yn-1, …, yn-k+1. Поэтому предварительно требуется задание k начальных значений y0, y1, …, yk-1.

В случае β0 = 0 метод Адамса является явным, так как значение yn+1 выражается через найденные ранее значения по явной формуле

(3.2)

Если же β0 ≠ 0, то для нахождения yn+1 приходится решать нелинейное уравнение

yn+1 = h· β0 ·f(tn+1, yn+1) + gn , (3.3)

где - известное значение. Поэтому при β0 ≠ 0 метод Адамса (3.1) является неявным.

Существуют различные способы вывода формул (3.1). Приведём два из них. Воспользуемся равенством

. (3.4)

Заменим приближённо функцию F(t) ≡ f(t, y(t)) интерполяционным многочленом (k – 1)-й степени Pk-1(t), принимающим значения fn, fn-1, …, fn-k+1 в тех узлах tn,
tn-1, …, tn-k+1, где значения сеточной функции yh уже найдены. Интегрирование этого многочлена дают приближённое равенство

. (3.5)

В результате от (3.4) приходим к формуле (3.2), соответствующей явному k-шаговому методу Адамса-Башфорта.

Замечание. Так как многочлен Pk-1 используется для приближения функции F вне отрезка, на котором известны её значения, то в действительности равенство (3.5) основано на экстраполяции. Поэтому соответствующий метод называют ещё экстраполяционным методом Адамса.

Если же в интеграле, входящем в равенство (3.4), заменить подынтегральную функцию интерполяционным многочленом k-й степени Qk(t), совпадающим со значениями fn-k+1, …, fn, fn+1 в узлах tn-k+1, …, tn, tn+1, то получится формула

, (3.6)

соответствующая k-шаговому методу Адамса-Моултона. Заметим, что этот метод – неявный.

Замечание. Метод (3.6) принято называть также интерполяционным методом Адамса.

Предложение. Пусть решение задачи Коши y(t) непрерывно дифференцируемо k раз на отрезке [t0, T]. Тогда k-шаговый метод Адамса-Башфорта и (k-1)-шаговый метод Адамса-Моултона имеют порядок аппроксимации, равный k.

Следующая теорема даёт основание называть методы Адамса, имеющие p-й порядок аппроксимации, методами p-го порядка точности.



Теорема. Пусть выполнено условие . Тогда явные методы Адамса устойчивы на конечном отрезке. Кроме того, при выполнении условия устойчивыми на конечном отрезке являются и неявные методы Адамса.

Замечание. Если выполнено условие , то неявные методы Адамса устойчивы при любых h.

Следствие. Пусть выполнено условие . Тогда если k-шаговый метод Адамса имеет p-й порядок аппроксимации, а начальные значения y1, y2, …, yk-1 определяются с p-м порядком точности, то метод сходится также с p-м порядком точности.

Приведём расчётные формулы методов Адамса-Башфорта p-го порядка точности при p = 2, 3, 4:

, p = 2;

, p = 3;

, p = 4.

Приведём также расчётные формулы методов Адамса-Моултона p-го порядка точности при p = 2, 3, 4:

, p = 2;

, p = 3;

, p = 4.

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...