Главная Обратная связь

Дисциплины:






Методы прогноза и коррекции



Может показаться, при наличии явных формул Адамса высокого порядка точности нет необходимости в использовании неявных формул. Однако в вычислительной практике явные методы Адамса используются очень редко. Одна из основных причин этого состоит в том, что в представляющих наибольший интерес для приложений задачах неявные методы обладают лучшими свойствами устойчивости и позволяют вести расчёт с существенно большими шагами, нежели явные методы.

Сложность использования явных методов Адамса заключается в необходимости решать уравнение (3.3) относительно yn+1. Значение yn+1 можно найти, используя, например, метод простой итерации

, s ≥ 0, φ(y) = h· β0 ·f (tn+1, y) + gn (3.7)

Так как , (y) = h· β0 · (tn+1, y) + gn , то при достаточномалых h условие сходимости | | ≤ g < 1 выполнено и метод (3.7) сходится.

Часто за начальное приближение принимают значение, получаемое по явной формуле Адамса, и выполняют только одну итерацию метода (3.7). В результате приходят к методу прогноза и коррекции. Один из широко используемых методов прогноза и коррекции получается при совместном использовании методов Адамса-Башфорта и Адамса-Моултона четвёртого порядка точности:

Прогноз: ,

,

Коррекция: .

Следует подчеркнуть, что результирующий метод оказался явным.

Методы Адамса требуют меньшего числа вычислений правой части дифференциального уравнения по сравнению с методами Рунге – Кутта того же порядка точности. Для них существуют эффективные методы апостериорной оценки локальной погрешности. Недостатком методов Адамса является нестандартное начало вычислений. Для определения значений y1, y2, …, yk-1, необходимых для работы k-шагового метода, используются методы Рунге – Кутта либо другие многошаговые методы.

Оформим в виде процедуры ADAMS(X0, XK, Y0, N, Y) описанный выше метод Адамса-Башфорта-Моултона четвёртого порядка точности для решения задачи Коши с заданным N – количеством отрезков разбиения. Для отыскания начальных значений y1, y2, y3, необходимых для начала вычислений, воспользуемся методом Рунге – Кутта четвёртого порядка точности. Блок-схема алгоритма процедуры ADAMS(X0, XK, Y0, N, Y) приведена на рисунке 3.1.

F(x, y) – правая часть дифференциального уравнения первого порядка

– должна быть описана отдельно в виде функции.

Входные параметры:

X0, XK – начальное и конечное значения независимой переменной;

Y0 – значение y0 из начального условия y(x0) = y0;

N – количество отрезков разбиения;

Выходные параметры:

Y – массив значений искомого решения в узлах сетки;

ADAMS(X0, XK, Y0, N, Y)

h = (XK – X0) / N



i = 0, … , 2

x = X0 + i * h

K1 = h * F(x, Yi)

K2 = h * F(x + h/2, Yi + K1 / 2)

K3 = h * F(x + h/2, Yi + K2 / 2)

K4 = h * F(x + h, Yi + K3)

K = (K1 + 2*K2 + 2*K3 + K4) / 6

Yi+1 = Yi + K

i = 3, … , N-1

Yi+1 = Yi + h*(55*F(x, Yi)-59*F(x-h, Yi-1)+37*F(x-2*h, Yi-2)-9*F(x-3*h, Yi-3)/24

Yi+1 = Yi + h*(9*F(x+h, Yi+1)+19*F(x, Yi)-5*F(x-h, Yi-1)+F(x-2*h, Yi-2) / 24

End

Рисунок 3.1 - Блок-схема алгоритма процедуры ADAMS

Блок-схема алгоритма основной программы для решения задачи Коши и получения результатов с фиксированным количеством отрезков разбиения N будет аналогична блок-схеме, приведенной на рисунке 2.7.

В основной программе будет происходить обращение к процедуре ADAMS(X0, XK, Y0, N, Y) (вместо RUNGE), вычисляющей значения искомой функции yj в точках xj методом Адамса-Башфорта-Моултона четвёртого порядка точности.

Исходными данными в данной задаче являются:

X0, XK – начальное и конечное значения независимой переменной;

Y0 – значение y0 из начального условия y(x0) = y0;

N – количество отрезков разбиения.

Результаты работы программы выводятся в виде двух столбцов:

X – массив значений узлов сетки;

Y – массив значений искомого решения в соответствующих узлах сетки.

Подобно рассмотренным в разделе 2 методам Рунге – Кутта, методы Адамса могут применяться для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и для решения обыкновенных дифференциальных уравнений более высокого порядка как для получения результатов с фиксированным количеством отрезков разбиения N (шагом h), так и для получения результатов с заданной локальной точностью.

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...