Главная Обратная связь

Дисциплины:






Невласні інтеграли, що залежать від параметру



Інтеграли, що залежать від параметру.

Неперервність, диференціювання, інтегрування за параметром

Нехай дано інтеграл , ІП І (1)

в якому підінтегральна функція залежить від деякого параметра .

Якщо параметр буде змінюватись, то буде змінюватись і значення інтеграла. Отже, інтеграл є функція від і тому позначаємо , , , , . По відношенню до функції виникає ряд питань про існування границі, про неперервність по , диференційовність, інтегровність.

Більш складний випадок, коли не тільки підінтегральний вираз містить параметр, а і самі границі інтегрування залежать від нього

Маємо: , , , ІП ІІ (2)

, .

 

Теорема 1. ( Про неперервність ІП І).

Якщо визначена і неперервна в прямокутнику , то інтеграл (1) буде неперервною функцією від параметра в проміжку ( ).

Доведення:

Розглянемо . Оскільки , – компакт, то функція рівномірно-неперервна на , звідси для , .

Зауваження.

Якщо виконуються умови теореми, то , , тобто має місце граничний перехід в (1).

 

Теорема 2. (Про неперервність ІП ІІ).

Якщо функція визначена і неперервна в прямокутнику , а криві , , неперервні і не виходять за його межі, то неперервна функція від в ,( ) і має місце граничний перехід в (2).

Доведення:

Нехай будь-яке частинне значення , тоді

.

Оскільки в першому інтегралі постійні межі ,то при , за теоремою про неперервність , маємо ; другий та третій інтеграли допускають оцінку ; , де і в силу неперервності , при прямують до 0.

Отже,

.

(Оскільки , із рівномірної неперервності

, ,при .

).

 

Теорема 3. (Про диференціювання ІП І)

Нехай , . Припустимо, що і є неперервні функції при , , тоді

Знайдемо похідну ІП І по параметру :

.

.

Застосуємо теорему Лагранжа до підінтегральної функції: , де .

Оскільки неперервна в замкненій області , то , де при . Отже

При , або –формула Лейбніца.

Приклад:

,

, не є неперервна в точці .

 

Теорема 4. (Про диференціювання ІП ІІ)

Нехай виконуються умови :

, , , , ,тоді існує

Приклад:

, .

 

Теорема 5. ( Про інтегрування ІП по параметру під знаком інтеграла).

Якщо , то існує .

Ця формула справджується (рівність повторних інтегралів), коли , неперервна по обом змінним.

 

Невласні інтеграли, що залежать від параметру.

 

1. , , , , .

При кожному в існує інтеграл:

, де параметр. НІП І (3)

За означенням невласного інтеграла з нескінченною границею: та є функція від та

при та має своєю границею .



2. : , , , , де єдина особлива точка , то . НІП ІІ (4)

Означення 1.

збігається в точці , якщо : , залишок інтеграла ,

або

,

Означення 2.

збігається в точці якщо : , , , то – залишок інтеграла ІП ІІ.

Якщо прямування до відбувається рівномірно відносно в , то рівномірно збіжний.

Означення 3. (Рівномірної збіжності на ).

НІП І називається рівномірно збіжним за параметром на (позначається ) якщо він збіжний на і : як тільки , то , або, що те саме: .

 

 

Означення 4.

НІП ІІ на , якщо ( не залежить від ), що : , як тільки ,то одночасно.

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...