Главная Обратная связь

Дисциплины:






ВІДОМОСТІ З ІСТОРІЇ ПРО ПОХОДЖЕННЯ ТЕРМІНІВ І ПОЗНАЧЕНЬ



Інтеграл.

 

Інтеграл (від лати. Integer - цілий ) - одне з найважливіших понять математики, що виникло у зв'язку з потребою, з одного боку відшукувати функції по їх похідних (наприклад, знаходити функцію, що виражає шлях, пройдений рухомою крапкою, за швидкістю цієї крапки), а з іншої - вимірювати площі, об'єми, довжини дуг, роботу сил за певний проміжок часу і т.п.

ВІДОМОСТІ З ІСТОРІЇ ПРО ПОХОДЖЕННЯ ТЕРМІНІВ І ПОЗНАЧЕНЬ

 

Символ введений Лейбніцом (1675 р.). Цей знак є зміною латинської букви S (першої букви слова сума). Саме слово інтеграл придумав Я. Бернулли (1690 р.) . Ймовірно, воно походить від латинського integero, яке переводиться як приводити в колишній стан, відновлювати. ( Дійсно, операція інтеграції “відновлює” функцію, диференціюванням якої отримана подынтегральная функція.) Можливе походження слова інтеграл інше: слово integer означає цілий.

В ході листування И. Бернулли і Г. Лейбниц погодилися з пропозицією Я. Бернуллі. Тоді ж, в 1696г., з'явилася і назва нової гілки математики - інтегральне числення ( calculus integralis ), яке ввів І. Бернуллі.

Інші відомі вам терміни, що відносяться до інтегрального числення, з'явилися значно пізніше. Назва, що уживається зараз, первісна функція замінило раніше “примітивна функція”, яке ввів Лагранж (1797 р.). Латинське слово primitivus переводиться як “початковий”: F(x)= - початкова (або первинна, або первісна) для функції f(x), яка виходить з F(x) диференціюванням.

У сучасній літературі множина всіх первісних для функції f(x) називається також невизначеним інтегралом . Це поняття виділив Лейбніц, який відмітив, що всі первісні функції відрізняються на довільну постійну. А називають певним інтегралом (позначення ввів К. Фурье (1768-1830), але межі інтеграції указував вже Ейлер).

 

Найважливіше з історії інтегрального числення.

Виникнення завдань інтегрального числення пов'язане із знаходженням площ і об'ємів. Ряд завдань такого роду були вирішені математиками стародавньої Греції. Антична математика передбачила ідеї інтегрального числення в значно більшому ступені, чим диференціального числення. Велику роль при рішенні таких задач грав вичерпний метод, створений Евдоксом Кнідськім (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) і що широко застосовувався Архімедом (ок. 287 - 212 до н. э.).

Проте Архімед не виділив загального змісту інтеграційних прийомів і понять про інтеграл, а тим більше не створив алгоритму інтегрального числення. Учені Середнього і Близького Сходу в IX - XV століттях вивчали і перекладали праці Архімеда загальнодоступною в їх середовищі арабською мовою, але істотно нових результатів в інтегральному численні вони не отримали.



Діяльність європейських учених в цей час була ще скромнішою. Лише у XVI і XVII століттях розвиток природних наук поставив перед математикою Європи ряд нових завдань, зокрема завдання на знаходження квадратури (завдання на обчислення площ фігур), кубатур (завдання на обчислення об'ємів тіл) і визначення центрів тяжіння .

 

Праці Архімеда, вперше видані в 1544 (на латинській і грецькій мовах), стали привертати широку увагу, і їх вивчення з'явилося одним з найважливіших відправних пунктів розвитку інтегрального числення . Архімед передбачив багато ідей інтегрального числення . Але було потрібно більше півтора тисяч років, перш ніж ці ідеї знайшли чіткий вираз і були доведені до рівня числення .

 

Математики XVII сторіччя, що отримали багато нових результатів, вчилися на працях Архімеда. Активно застосовувався і інший метод - метод неделимых, який також зародився в Стародавній Греції. Наприклад, криволінійну трапецію вони уявляли собі складеною з вертикальних відрізків довжиною f(x), яким проте приписували площу, рівну нескінченно малій величині f(x) dx. Відповідно до такого розуміння шукана площа вважалася рівній сумі S = нескінченно великого числа нескінченно малих площ. Іноді навіть підкреслювалося, що окремі доданки в цій сумі - нулі, але нулі особливого роду, які складені в нескінченному числі, дають цілком певну позитивну суму.

На тій, що такій здається тепер щонайменше сумнівній основі И. Кеплер (1571 - 1630 рр.) в своїх творах “Нова астрономія” (1609 р.) і “Стереометрія винних бочок” (1615 р.) правильно обчислив ряд площ (наприклад площа фігури, обмеженої еліпсом) і об'ємів (тіло резалось на нескінченно тонкі пластинки).

Ці дослідження були продовжені італійськими математиками Б. Кавальери (1598 - 1647 роки) і Э. Торричелли (1608 -1647 роки).

У XVII столітті було зроблено багато відкриттів, що відносяться до інтегрального числення. Так, П. Ферма вже в 1629 році вирішив завдання квадратури будь-якої кривої у =, де N - ціле ( тобто вивів формулу ), і на цій основі вирішив ряд завдань на знаходження центрів тяжіння. И. Кеплер при виведенні своїх знаменитих законів руху планет, фактично спирався на ідею наближеної інтеграції . И. Барроу (1603-1677 року), вчитель Ньютона, близько підійшов до розуміння зв'язку інтеграції і диференціювання . Велике значення мали роботи за уявленням функції у вигляді статечних рядів.

Проте при всій значущості результатів, отриманих математиками XVII сторіччя, числення ще не було. Необхідно було виділити загальні ідеї, лежачі в основі рішення багатьох приватних задач, а також встановити зв'язок операцій диференціювання і інтеграції, що дає достатньо точний алгоритм. Це зробили Ньютон і Лейбніц, що відкрили незалежно один від одного факт, відомий вам під назвою формули Ньютона, - Лейбніца . Тим самим остаточно оформився загальний метод. Належало ще навчитися знаходити первісні багатьох функцій, дати логічні основи нового числення і т.п. Але головне вже було зроблено: диференціальне і інтегральне числення створене.

Методи математичного аналізу активно розвивалися в наступному сторіччі (в першу чергу слід назвати імена Л. Ейлера, що завершив систематичне дослідження інтеграції елементарних функцій, і І. Бернуллі). У розвитку інтегрального числення взяли участь російські математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 рр.), В. Я. Буняковский (1804 - 1889 рр.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 рр.). Принципове значення мали, зокрема, результати Чебишева, що довів, що існують інтеграли, що не виражаються через елементарні функції.

Строгий виклад теорії інтеграла з'явився тільки в минулому столітті, Рішення цієї задачі пов'язане з іменами О. Коши, одного з найбільших математиків німецького ученого Б. Римана (1826 - 1866 рр.), французького математика Г. Дарбу (1842 - 1917).

Відповіді на багато питань, пов'язаних з існуванням площ і об'ємів фігур, були отримані із створенням К. Жорданом (1826 - 1922 рр.) теорії міри.

Різні узагальнення поняття інтеграла вже на початку нашого сторіччя були запропоновані французькими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 рр.) і А. Данжуа (1884 - 1974) радянським математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 рр.)

 

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...