Главная Обратная связь

Дисциплины:






Геометрический смысл



Неопределенный интеграл.

Понятие первообразной.

Во многих вопросах математического анализа и его приложениях приходится не по заданной функции искать ее производную, а наоборот – восстанавливать функцию по ее производной. Например, задано ускорение а как функция от времени t: а=a(t), требуется найти скорость v и пройденный путь s в зависимости от t. Т.о. здесь необходимо по функции a=a(t) восстановить ту функцию v=v(t), для которой а является производной, а затем, зная функцию v, найти ту функцию s=s(t), для которой производной будет v.

Определение.Функция F(x) называется первообразной (антипроизводной) функцией для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка функция f(x) является производной для функции F(x): (x)=f(x) (1)

Или, что тоже самое, f(x)dx служит для F(x) дифференциалом:

dF(x)=f(x)dx хÎХ (2)

Пример.

1. Функция F(x)=sin x является первообразной для функции f(x)=cos x на всей числовой прямой, т.к. в каждой точке х =cos x.

2. Функция F(x)=x3 является первообразной для функции f(x)=3x2 на всей числовой прямой, т.к. в каждой точке х =3x2.

3. Функция F(x)= является первообразной для функции f(x)=- на интервале (-1;1), т.к. в каждой точке этого интервала =- .

Геометрический смысл.

Найти первообразную для функции f(x), значит найти такую кривую у=F(x), что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению f(x).

Теорема 1.Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) в промежутке Х, то и функция F(х)+С, где С – любая постоянная, также будет первообразной для функции f(x) в Х.

Доказательство. 1) F(х)+С определена и непрерывна в Х и

2) =f(x)

Верно и обратное.

Теорема 2. Любая первообразная для функции f(x) на промежутке Х содержится во множестве {F(x)+C}, хÎХ (3)

Доказательство. Пусть F(х) - первообразная для функции f(x) на Х, а F(х) - любая другая первообразная для f(x) на Х. По определению имеем:

1) F(х) и F(х) определены и непрерывны на промежутке Х;

2) =f(x) и =f(x) для хÎХ.

Т.к. = =f(x) на Х, то эти функции на Х отличаются друг на друга на постоянную величину, т.е. F(х)-F(х)=С(const), хÎХÞF(х)=F(х)+С, хÎХ.

Т.о. F(х) получается из (3) надлежащим выбором постоянной С. Ч.т.д.

Из теоремы следует, что если функция F(х) является первообразной для функции f(x), то и выражение F(х)+С задает множество всех первообразных для функции f(x).

Определение.Множество{F(x)+C} всех первообразных для функции f(x), определенных на промежутке Х, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке:



=F(х)+С (4)

f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx-подынтегральное выражение, F(x) – некоторая первообразная для функции f(x), C – произвольная постоянная. Под символом понимают как множество всех первообразных функции f(x), так и любой элемент этого множества.





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...