Главная Обратная связь

Дисциплины:






Свойства неопределенного интеграла



1.) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

=f(x) (5)

(В этой формуле под интегралом понимается любая первообразная F(х) функции f(x) в промежутке Х).

Доказательство. Дифференцируя левую и правую части равенства

= F(х)+С, получаем: = =f(x) ч.т.д.

2.) Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

=f(x)dx (6)

Доказательство. По определению дифференциала и свойству 1:

= =f(x)dx

3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого:

=F(х)+С (7)

Доказательство. Рассматривая функцию F(x) как первообразную для функции f(x), получаем =F(х)+С

На основании 2-го свойства дифференциал неопределенного интеграла

f(x)dx=dF(x), откуда = =F(х)+С ч.т.д.

Т.о. операции нахождения неопределенного интеграла и дифференциала взаимнообратны.

4) Если функция f(x)имеет в промежутке Х первообразную, то и функция kf(x), k=const≠0, имеет в Х первообразную, причем:

= (5)

(Т.е. постоянный множитель можно вынести за знак интеграла. Равенство (5) следует понимать как равенство двух множеств).

Доказательство. Найдем производную функции g(x)= - :

= - =kf(x)-kf(x)=0 (по свойству 1).

По следствию из теоремы Лагранжа найдется такое число С, что g(x)=0 и значит = +С. Т.к. неопределенный интеграл находится с точностью до постоянного слагаемого, то ч.т.д.

5) Если функции f1(x) и f2(x) имеют в промежутке Х первообразные, то и функции [f1(x)±f2(x)] имеют в Х первообразные, причем:

(6)

(Т.е. интеграл от алгебраической суммы (разности) двух функций равен сумме (разности интегралов от этих функций. Равенство (6) следует понимать как равенство двух множеств).

Доказательство. Пусть F1(x) и F2(x) первообразные для функций f1(x) и f2(x) соответственно. Тогда функция F1(x) ±F2(x) первообразная для функции f(x)±g(x).

Следовательно,

=(F1(x)+С1)±(F2(x)+С2)=F1(x)±F2(x)+С= .Ч.т.д.

Свойство 5 верно для любого конечного числа функций.

Возвращаясь к механической задаче, поставленной в начале, можно написать, что

,

Таблица интегралов.

1.) =С; 2.) =х+С; 3.) = +С (n≠-1);

4.) =ln│x│+C; 5.) +C; a≠1, a>0 6.) =ex+C;

7.) =cos x+C; 8.) = - sin x+C; 9.) =tg x+C;

10.) =-ctg x+C; 11.) +C; a≠0

12.) =arcsin x+C; 13.) =arcsin +C; -a<x<a, a>0

14.) =arctg x+C; 15.) +C; a≠0

16.) +C, a≠0

17) =ch x+C ( ) 18) =sh x+C ( )

19) =-cth x+C 20) =-th x+C

Справедливость этих формул проверяется непосредственным дифференцированием правой части. Например,



(arcsin +C = = +0= =





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...