Главная Обратная связь

Дисциплины:






Методы интегрирования



Непосредственное интегрирование. Метод разложения.

Вычисление интегралов с помощью таблицы простейших интегралов и основных свойств интегралов.

Пример. = + =

= + =tgx-ctgx+C

Метод замены переменной (метод подстановки).

Пусть требуется найти интеграл , причем подобрать первообразную непосредственно невозможно, но известно, что она существует.

Теорема. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на промежутке áa,bñ и имеет там первообразную F(x). Пусть функция х=φ(t) непрерывна и имеет непрерывную производную в промежутке áα,βñ и Îáα,βñ оказывается φ(t)Îáa,bñ. Тогда функция F(φ(t)) является первообразной для функции f(φ(t))× на промежутке áα,βñ:

=F(φ(t))+С , tÎáα,βñ (7)

(после интегрирования в правой части равенства вместо t будет подставлено его выражение через х на основании равенства х=φ(t)).

Доказательство. Функции f(φ(t)) и F(φ(t)) определены и непрерывны (как суперпозиции непрерывных функций) в промежутке áα,βñ. По правилу дифференцирования сложных функций Îáα,βñ имеем:

= =

Т.е. F(φ(t)) является первообразной для функции f(φ(t))× на промежутке áα,βñ.

Замечание. Формулу (7) используют при интегрировании, переписав ее в следующем виде: = = (8)

При интегрировании иногда целесообразнее подбирать замену не в виде х=φ(t), а t=ψ(х).

Например, = =ln|t|+C=ln|ψ(х)|+C

Замена t=ψ(х), тогда dt=ψ΄(х)dx

Примеры.

1) = = =arcsin t+C= arcsin +C

Замена. t= , dt= , dx=adt

2) = = = +C

Замена. t= , dt= , dx=adt

Внесение под знак дифференциала.

Новую переменную можно не выписывать явно. В этом случае говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала.





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...