Главная Обратная связь

Дисциплины:






Площадь криволинейной трапеции



Определенный интеграл.

Длина пути.

Тело движется по прямой, причем его скорость в момент времени t равна v(t), tÎ[a,b]. Требуется найти значение пути S, пройденного телом за промежуток времени от t=a до t=b (a<b).

Разбиваем промежуток времени [a,b] произвольным образом на n частичных промежутков [ti,ti+1], i=0,1,2,…,n-1 (a=t0<t1<t2<…<tn-1<tn=b).

Полагаем Dti=ti+1-ti, l=max{Dt0,Dt1,…,Dtn-1}. Предполагаем частичные промежутки столь малыми, что в течении промежутка времени [ti,ti+1] скорость v(t) тела можно приближенно считать постоянной, равной v(ti), где tiÎ[ti,ti+1]. Тогда значение пути DSi, t=ti t=ti+1

DSi»v(ti)×(ti+1-ti)=v(ti)×Dti

Значение всего пути S, пройденного телом за промежуток времени от t=a до t=b, будет приближенно выражаться суммой, состоящей из n слагаемых

S»v(t0)×Dt0+v(t1)×Dt1+…+v(tn-1)×Dtn-1= v(ti)×Dti (1)

Чем меньше частичные промежутки времени [ti,ti+1], тем меньше ошибка, которую мы делаем, считая движение в течении всего промежутка [ti,ti+1] равномерным.

Поэтому за путь S, пройденный телом за промежуток времени от t=a до t=b (a<b), принимаем предел суммы (1) при l®0, т.е.

S= (2)

Площадь криволинейной трапеции.

Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная функция y=f(x), принимающая лишь неотрицательные значения. Рассмотрим фигуру, ограниченную кривой y=f(x), прямыми х=а, х= b и отрезком оси Ох. Такая фигура называется криволинейной трапецией.

(Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, можно заменить кривую y=f(x) на некоторую ломаную, расположенную близко к ней. Фигура под ломаной состоит из прямоугольников, значит площадь всей фигуры равна сумме площадей прямоугольников. Т.к. ломаная расположена близко кривой, то S≈Sл.).

Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков:

а=х0<x1<…<xn-1<xn=b

и через точки разбиения проведем отрезки прямых параллельно оси Оу. Криволинейная трапеция разобьется при этом на n полос. Заменим приближенно каждую полосу прямоугольником, основание которого тоже, что и у полоски, а высота совпадает с одной из ординат полоски, например с крайней слева.

Т.о., криволинейная фигура заменится некоторой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоугольников.

Обозначим через х0,x1,…,xn-1,xnточки разбиения.Такую систему точек называют разбиением. Разбиений бесконечно много.

Основание i –го прямоугольника (i=0,1,2,…,n-1) равно разности ∆хi=xi+1-xiдлина частичного отрезка.

На каждом отрезке [xi;xi+1] выберем точку ξi.

Тогда площадь i-го прямоугольника Si=f(ξi) ∆i.



Тогда площадь криволинейной трапеции S≈

Чем меньше частичные отрезки [хii+1], тем меньше ошибка, которую мы делаем, заменяя полосу криволинейной трапеции прямоугольником на [хii+1].

Поэтому за площадь S криволинейной трапеции принимаем предел суммы при l®0, т.е.

S= (3)

Определение. Пусть функция f(x) задана на отрезке [a;b]. Разобьем отрезок [a;b] произвольным образом на n отрезков: а=х0<x1<…<xn-1<xn=b – разбиение Р.

Наибольшую из разностей ∆хi=xi+1-xi (i=0,1,2,…,n-1) обозначим через λ

λ= -длина наибольшего частичного отрезка разбиения Р. При l®0, n®¥.

На каждом отрезке [xi-1;xi] выберем произвольную точку ξi.

Составим сумму σ= - интегральная сумма Римана для функции f(x) на отрезке [a;b]. Интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [a;b] точками х0,x1,…,xn-1,xn, так и от выбора точек ξ12,…,ξn на каждом из отрезков разбиения [xi;xi+1], i=0,1,2,…,n-1. Поэтому σ=σ(Р, ξ).

Рассмотрим предел этой суммы при l®0 (n®¥).

Определение.Если существует конечный предел I интегральной суммы σ при λ→0, и этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b] на части [xi;xi+1], ни от способа выбора точек ξi. в [xi;xi+1], i=0,1,2,…,n-1, то он называется определенным интегралом от функции f(x) в промежутке [a;b] и обозначается

I=

Т.о. = (4)

В этом случае функция f(x) называется интегрируемой (по Риману) на[a;b].

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) –подынтегральной функцией, х- переменная интегрирования.

Определение можно ввести на “языке δ-ε”

Число I называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a;b], если

>0 =δ(ε): >0 независимо от выбора точек ξi выполняется неравенство

<0 (5)

Буква, обозначающая переменную интегрирования не имеет значение, т.е.

= = =…

т.к. смена обозначений не влияет по поведение интегральной суммы.

В отличии от неопределенного интеграла, представляющего собой семейство функций, определенный интеграл является определенным числом.

Т.о. в задаче 1 значение пути S, пройденного телом за промежуток времени от t=a до t=b (a<b), определяется по формуле: S=

Геометрический смысл определенного интеграла вытекает из задачи 2 о площади криволинейной трапеции.

На промежутке [xi;xi+1] функция f(x) достигает своих наименьшего и наибольшего значений: mi=f( ) и Mi=f( ), где Î[xi;xi+1], Î[xi;xi+1]. Рассмотрим два прямоугольника. У них общим основанием является отрезок [xi;xi+1], а высотами являются соответственно mi и Mi. (Рисунок). Тогда

mi(xi+1-xi)£Si£Mi(xi+1-xi), i=0,1,2,…,n-1.

Просуммировав эти неравенства по i=0,1,2,…,n-1, получим:

или (6)

В этом неравенстве суммы и являются интегральными суммами Римана для функции f(x) в промежутке [a,b].

Переходя в неравенстве (6) к пределу при l®0, получаем: S=

Т.о., если функция f(x) неотрицательна, то числено равен площади фигуры, ограниченной кривой f(x) на отрезке [a;b].

Например, =1 – площадь квадрата со стороной 1, - площадь прямоугольного треугольника, - площадь четверти круга с радиусом 1.





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...