Главная Обратная связь

Дисциплины:






Необходимое условие интегрируемости функции



Теорема. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b],то она ограничена на этом отрезке, т.е. С: [a;b] |f(x)|≤С.

Доказательство. (С.М. Никольский, А. П. Аксенов, ч.1)

Допустим, функция f(x) не ограничена на [a;b]. Следовательно, она неограниченна хотя бы на одном из отрезков [xi;xi+1] разбиения, допустим на отрезке . Тогда интегральная сумма имеет вид: σ= + =

Все ξi, входящие во второе слагаемое, произвольны, но фиксированы. Тогда

Возьмем сколь угодно большое число N: >N Þ (*)

В силу неограниченности f(x) на найдется точка Î для которой выполняется неравенство (*).

Т.о., если f(x) не ограничена на [a;b], то каковы бы ни были число N>0 и разбиение Р, соответствующая Р интегральная сумма путем выбора точек ξi может быть сделана больше N по абсолютной величине. Следовательно, f(x) не интегрируема на [a;b].Ч.т.д.

Замечание. Это условие не является достаточным, т.е. не любая функция f(x), заданная на отрезке [a;b] и ограниченная на нем, интегрируема на [a;b].

Примерфункции ограниченной, но не интегрируемой (по Риману).

Функция Дирихле на отрезке [a;b].

D(x)= разрывна в каждой точке.

Покажем, что функция Дирихле не является интегрируемой на произвольном отрезке [a;b].

Разобьем промежуток [a;b] произвольным образом на части [xi;xi+1], i=0,1,…,n-1.

(а=х0<x1<…<xn-1<xn=b). Если в качестве точек ξi в [xi;xi+1] брать рациональные точки, то получим

σ= = =b-а.

Если в качестве точек ξi в [xi;xi+1] брать иррациональные точки, то получим

σ= = =0.

Т.о., для функции Дирихле не существует предела интегральных сумм, независящего от выбора точек ξi в [xi;xi+1]. Следовательно, D(x) не интегрируема на [a;b].

Суммы Дарбу.

Пусть на [a;b] задана ограниченная функция f(x). Возьмем некоторое разбиение Р отрезка [a;b]. Обозначим

mi= , Mi= . Составим суммы.

s(P)= - нижняя сумма Дарбу.

S(P)= - верхняя сумма Дарбу.

Суммы Дарбу зависят от разбиения: если изменить способ разбиения, то изменятся и суммы Дарбу.

Суммы Дарбу являются интегральным только в случае непрерывности функции f(x), причем s(P) – самая маленькая интегральная сумма, S(P) – самая большая.

Свойства сумм Дарбу.

1. Пусть s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие фиксированному разбиению Р отрезка [a,b]. Пусть {s} - множество интегральных сумм Римана, соответствующих этому же разбиению Р отрезка [a,b]. Тогда s£s£S, sÎ{s}.

Доказательство. Из определения нижней и верхней границ множества {f(x)}, xÎ[xi;xi+1], имеем mi£f(xi)£Mi, ξiÎ[xi;xi+1], i=0,1,2,…,n-1



Умножим каждое из неравенств Dxi(>0). Получим:

miDxi£f(xi)Dxi£MiDxi, i=0,1,2,…,n-1

Просуммируем эти неравенства по i=0,1,2,…,n-1

£ £ , т.е. s£s£S ч.т.д.

2. Пусть s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие фиксированному разбиению Р отрезка [a,b]. Пусть {s} - множество интегральных сумм Римана, соответствующих этому же разбиению Р отрезка [a,b]. Тогда s=inf{s}, S=sup{s}.

3. При добавлении новых точек разбиения, нижняя точка Дарбу может только возрасти, а верхняя сумма Дарбу может лишь уменьшиться.

Доказательство. Пусть s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие фиксированному разбиению Р отрезка [a,b]. Пусть и – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие новому разбиению, после добавления еще одной точки разбиения Î[xi;xi+1].(Рисунок)

Покажем, что £S. Имеем

S=М010)+М121)+…+Мi-1ii-1)+ i+1i+2i+1)+…+Мn-1nn-1).

Все слагаемые суммы S, кроме одного, подчеркнутого, войдут без изменения в выражение для . Вместо слагаемого Мii+1i) в составе окажутся два слагаемых:

М¢i( i) и М²ii+1- ), где М¢i= , М²i=

Т.к. {f(x)} при xÎ[xi, ]Ì{f(x)} при xÎ[xi,xi+1]

{f(x)} при xÎ[ ,xi+1]Ì{f(x)} при xÎ[xi,xi+1], то М¢i£Мi, М²i £Мi. Поэтому

М¢i( i)+М²ii+1- )£Мi( i)+Мii+1- )=Мii+1i). Следовательно, £S.

4. Всякая нижняя сумма Дарбу не больше любой верхней суммы Дарбу.

Т.е. для любых разбиений Р и Þs(P)£S( )

Доказательство. Введем новое разбиение Р0=РÈ , тогда

s(P)£s(PÈ )£S(РÈ )£S( ) ( свойству 3), т.е. s(P)£S( ) ч.т.д.





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...