Главная Обратная связь

Дисциплины:






Свойства интегрируемых функций



Интеграл был введен при a<b. Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда a>b и a=b.

1) Если a>b по определению, полагаем =- (1)

2) Если a=b, то по определению =0 (2)

В дальнейшем предполагаем, что соответствующие интегралы существуют.

3) Пусть функция f(x) интегрируема на [a;b], тогда и функция af(x) интегрируема на [a;b]. (a-произвольное число. Т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла)

(3)

Доказательство. Возьмем любое разбиение Р отрезка [a;b]. Составим интегральную сумму Римана для функции af(x):

s(af)= =αf(ξ0)Δx0+…+ αf(ξn-1)Δxn-1=

=α(f(ξ0)Δx0+…+f(ξn-1)Δxn-1 =s(f)

По условию, f(x) интегрируема на [a;b], следовательно существует конечный предел , причем = .

Но тогда =

Т.е. существует конечный , следовательно существует , причем

ч.т.д.

4) Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a;b], тогда и функция (f(x)±g(x)) интегрируема на [a;b]. (Т.е. интеграл от алгебраической суммы двух функция равен алгебраической сумме интегралов).

= + (4)

Доказательство. Возьмем любое разбиение Р отрезка [a;b]. Составим интегральную сумму Римана для функции (f(x)±g(x)):

s(f±g)= = ± =s(f)±s(g).

По условию, f(x) и g(x) интегрируемы на [a;b], следовательно существуют конечные пределы = и = . Но тогда существует и конечный , причем = ± Þ

Þ существует, причем

= + ч.т.д.

Замечание.Свойство 4 имеет место для любого конечного числа слагаемых.

Свойства (3) и (4) можно объединить: = +

5. Пусть функция f(x) интегрируема на [a;b]. Если в конечном числе точек промежутка [a;b] изменить значения функции f(x), то от этого интегрируемость функции не нарушится и величина интеграла не изменится.

Доказательство. (А. П. Аксенов, ч.1)

6. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a;b], тогда и функция р(х)=f(x)×g(x) так же интегрируема на [a;b].

Доказательство. (А. П. Аксенов, ч.1)





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...