Главная Обратная связь

Дисциплины:






Свойства определенного интеграла



7. .

Доказательство. Здесь f(x)=1. Возьмем любое разбиение Р отрезка [a;b]. Составим интегральную сумму Римана для функции f(x)=1. f(xi)=1 "xiÎ[xi,xi+1].

s= = = =b-aÞ =b-a. ч.т.д.

8. Для любых трех чисел а,b и с справедливо равенство:

= + (5)

если только эти три интеграла существуют.

Доказательство.

1. Пусть a<c<b и функция f(x) неотрицательна на [a;b]. Геометрический смысл:

=S1, =S2,

=S, тогда S=S1+S2

Т.к. предел интегральной суммы σ не зависит от способа разбиения [a;b], то проведем разбиение так, чтобы точка с была точкой разбиения. Например, с=хm тогда

σ=

Переходя в последнем равенстве к пределу при λ→0, получим равенство (5).

Остальные случаи сводятся к рассмотренному.

2. Пусть a< b <с, тогда по доказанному = + , откуда

= - = + ч.т.д.

S1=S-S2

 

Оценки интегралов.

9. Если на отрезке [a;b], где a<b, функция f(x)≥0, то

≥0 (6)

Доказательство. Т.к. f(x)≥0 на [a;b], то f(ξi)≥0, и, следовательно, любая интегральная сумма для этой функции σ≥0.

Переходя в неравенстве ≥0 к пределу при λ→0, получаем ≥0

10. Если на отрезке [a;b] f(x)≤g(x), то

(7)

(т.е. неравенства можно интегрировать).

Доказательство. Рассмотрим функцию g(x)-f(x)≥0. По свойству 9, получаем 0, с другой стороны, = - ≥0 ч.т.д.

11. Пусть функция f(x) интегрируема на [a;b], тогда функция также интегрируема на [a;b], причем (8)

(Проинтегрировав неравенство получим равенство (8))

12. Следствие. Если всюду на отрезке [a;b] │f(x)│≤k, то

k½b-a½ (9)

Доказательство.

Т.к. =b-a. Получаем равенство (9). Ч.т.д.

Пример. Оценить интеграл .

Т.к. 0£cos2x£1, то при х³12 выполняется неравенство

£ <

Поэтому 0< < (20-12)=

13. Если m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a;b] (m≤f(x)≤М) и a£b, то

m(b-a)≤ ≤M(b-a) (10)

Доказательство. Т.к. m≤f(x)≤М, то проинтегрировав его почленно (по свойству (8), получаем .

Но =m = m(b-a), =M = M(b-a) Þч.т.д.

Если f(x)³0, то это свойство иллюстрируется геометрически:

Площадь криволинейной трапеции aABb содержится между площадями прямоугольников аА1В1b и аА2В2b.

 

14. Теорема о среднем значении функции на промежутке. Пусть функция f(x) интегрируема в [a;b] и пусть во всем этом промежутке m≤f(x)≤М, тогда

=m(b-a) (11), где m≤m≤М.



Доказательство. Если a<b, то по свойству 13 имеем: m(b-a)≤ ≤M(b-a)Þ

Þm≤ ≤M. Положив =m получаем равенство (11).

Если a>b, проводим такое же рассуждение для =m(а-b), а затем, поменяв пределы, =- =-m(а-b)=m(b-а) Ч.т.д.

Частный случай теоремы о среднем.Пусть функция f(x) интегрируема на [a;b], тогда найдется такое значение [a;b], что

=f(ξ)(b-a) (12)

Доказательство. Пусть для определенности a<b.

По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного значения х [a;b] верно, что m≤f(x)≤М, где m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на [a;b]. Тогда, по формуле (10) имеем

m(b-a)≤ ≤M(b-a) или m≤ ≤M.

Т.к. функция непрерывна на отрезке, то она принимает любое значение между ее наименьшим и наибольшим значениями. Поэтому, найдется такое число [a;b], что

=f(ξ) или =f(ξ)(b-a) ч.т.д.





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...