Главная Обратная связь

Дисциплины:






Замена переменной в определенном интеграле



Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда если

1) функция x=φ(t) определена на [α;β] и имеет там непрерывную производную φ΄(t);

2) множеством значений функции x=φ(t) является отрезок [a;b];

3) φ(α)=a и φ(β)=b, то справедлива формула

(18)

Доказательство. Пусть F(х) – первообразная для функции f(x).

По формуле Ньютона-Лейбница =F(b)-F(a)

F΄(x)=f(x), F΄(φ(t))=F΄(φ(t))·φ΄(t)=f(φ(t))·φ΄(t),

Т.е. функция F΄(φ(t)) является первообразной для функции f(φ(t))·φ΄(t).

Тогда по формуле Ньютона-Лейбница

=F(φ(β))- F(φ(α))=F(b)-F(a)= ч.т.д.

Примеры. 1)

Замена: x=r sin t, dx=r cos t dt.

Определим новые пределы: x=0 при t=0, x=r при t= . Следовательно,

= = = =

= = =

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

Теорема.Пусть функции u(x) и v(x) – непрерывные вместе со своими производными u΄(x) и v΄(x) на отрезке [a;b]. Тогда справедлива формула:

(19)

Доказательство. Т.к.(uv)΄=u΄v+v΄u, то функция uv является первообразной для функции u΄v+v΄u.

По формуле Ньютона-Лейбница получаем

По свойству определенных интегралов:

Отсюда ч.т.д.

Пример. 1) = = - =0- =-1-1=-2.

2) = = + =0- =

Геометрические приложения определенного интеграла.

Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь в прямоугольных координатах.

1. Пусть функция f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда, по геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь фигуры под кривой f(x) на [a;b] численно равна . (1)

Пример.

2. Пусть функция f(x) неположительна и непрерывна на отрезке [a;b]. Отражая кривую f(x) относительно оси Ох, получаем кривую с уравнением у= - f(x). Функция у=- f(x) неотрицательна на [a;b] и площадь фигуры под кривой у=- f(x) на [a;b] равна площади S (из соображений симметрии). S= = -

Пример.

3.Если функция f(x) конечное число раз меняет знак на отрезке [a,b], то ин6теграл по всему отрезку [a,b] разбиваем на сумму интегралов по частичным отрезкам. Интеграл будет положителен на тех отрезках, где f(x)³0, и отрицателен там, где f(x)£0. Интеграл по всему отрезку равен разности площадей, лежащих выше и ниже оси Ох. Для того, чтобы получить сумму площадей в обычном смысле, нужно найти сумму абсолютных величин интегралов по указанным отрезкам или вычислить интеграл

Рисунок.

Пример.Вычислить площадь фигуры, ограниченной синусоидой у=sin x и осью Ох, при 0£х£2p.



Рисунок.

S= + =

= =-(cos p - cos 0)= - (-1-1)=2

= =-(cos 2p-cos p)= -2

S=2+½-2½=4

4. (Площадь обобщенной криволинейной трапеции). Теорема. Пусть на отрезке [a;b] заданы непрерывные функции y=f1(x) и y=f2(x) такие, что f1(x)≤f2(x). Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми y=f1(x) и y=f2(x) на отрезке [a;b]:

S= (2)

Рисунки.

Пример.





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...