Главная Обратная связь

Дисциплины:






Связь между декартовыми и полярными координатами точки



(х;у) (r; φ)Из треугольника ОМА:

tg φ = (восстановление углаφпо известному тангенсу производится с учетом того, в каком квадранте (коорд. четверти) находится точка М).

(r; φ) (х;у) х=rcos φ y=rsin φ

Пример.Найти полярные координаты точек М(3;4) и Р(1;-1).

Для М:=5, φ=arctg (4/3). Для Р: r= ; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Пусть в полярной системе координат задана кривая:

r=f(φ),где f(φ) – непрерывная функция при jÎ[a,b].

Определим площадь сектора ОАВ, ограниченную кривой r=f(φ) и радиус-векторами j=a и j=b. Рисунок.

 

 

Разобьем точками j0=a<j1<j2<…<jn=b произвольным образом промежуток [a,b] на n частей [ji,ji+1] (i=0,1,…,n-1).

Проведем лучи (радиус векторы) j=ji (i=0,1,…,n-1).

Наша фигура разобьется при этом на n элементарных обобщенных секторов. Рассмотрим i-й сектор.Рисунок.

 

Функция f(φ) непрерывна при jÎ[a,b]. Следовательно, f(φ) непрерывна на промежутке [ji,ji+1] и, следовательно, достигает на промежутке [ji,ji+1] своих наименьшего mi и наибольшего Mi значений.

Проведем две дуги окружностей с центром в точке О и радиусами mi и Mi соответственно. Если через Si обозначить i-го сектора, то будем иметь

, i=0,1,…,n-1

Просуммировав все эти неравенства по i от 0 до n-1, получим, что площадь S всего обобщенного сектора будет удовлетворять неравенству

(4)

Заметим, что суммы и , являясь нижней и верхней суммами Дарбу соответственно, являются также интегральными суммами Римана для функции f2(φ) в промежутке [a,b].

Т.к. f(φ) непрерывна при jÎ[a,b], то и f2(φ) непрерывна в промежутке [a,b], следовательно, f2(φ) интегрируема в промежутке [a,b]Þсуществует предел и

=

Переходя в неравенстве (4) к пределу при l®0, получим,

S= (5)

Замечание 1. Пусть фигура, ограниченная линиями, уравнения которых в полярных координатах имеют вид j=a, j=b (a<b), r=f1(j), jÎ[a,b], r=f2(j), jÎ[a,b]. При этом предполагается, что f1(j) и f2(j), непрерывны на [a,b], f1(j)£f2(j).

(Рисунок)

 

 

Обозначим через S площадь фигуры ABCD. Имеем:

S=SODC-SOAB= - = (6)

Замечание 2. Отрезки лучей j=a, j=b (один или оба сразу) могут вырождаться в точку.

Пример. (с.561)


Длина кривой.

Пусть имеется кривая АВ. Возьмем на АВ ряд точек, следующих друг за другом вдоль кривой: M0=A, M1,…,Mn-1,Mn=B. Соединяя последовательно эти точки прямолинейными отрезками, получим некоторую ломаную линию, вписанную в кривую АВ.

Рисунок.

 



 

Обозначим через длину i-го звена ломаной. Тогда lлом.= будет длиной ломаной.

Для закрепленного числа n и для закрепленного способа выбора точек M12,…,Mn-1 значение величины lлом будет вполне определенным числом. Если же число точек M12,…,Mn-1 и способы их выбора на кривой АВ менять, то меняться и значение величины lлом.

Положим l= .

Определение. Если существует конечный предел длины вписанной в дугу ломаной

l= (1)

не зависящий от способа выбора вершин ломаной, то этот предел называют длиной дуги АВ, а саму дугу АВ называют в этом случае спрямляемой.





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...